sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 12 · Exercice de TD

Pignon fou de renvoi dans une chape : justifier les tolérances par le jeu

Spécification Géométrique des Produits (GPS) et Cotation Fonctionnelle · B. Cotation fonctionnelle et chaînes de cotes unidirectionnelles · niveau 2

Énoncé

Un pignon fou de renvoi tourne sur un axe fixé dans une chape. Entre une joue de la chape et le pignon est intercalée une rondelle de frottement du commerce. Les cotes, une par pièce, sont : largeur intérieure de la chape $a_{0} = 25, 25 \pm 0, 05 mm$ , largeur du pignon $a_{1} = 24, 00 \pm 0, 05 mm$ , épaisseur de la rondelle $a_{2} = 1, 00 \pm 0, 05 mm$ (tolérance du fournisseur, non modifiable). Le jeu axial $J$ du pignon doit rester entre $0, 10$ et $0, 40 mm$ .

1) Traduire l'exigence en deux conditions unilimites, et justifier chacune par la fonction.

2) Établir la chaîne de cotes de la condition $J$ et l'équation $J = a_{0} - a_{1} - a_{2}$ .

3) Calculer $J_{m i n}$ , $J_{m a x}$ et l'intervalle de tolérance du jeu ; conclure.

4) Pour réduire l'usure de l'autre joue, on ajoute une seconde rondelle identique ; la chape est élargie de $1 mm$ (nominal $26, 25$ ), avec la même tolérance. Conclure. Comment rétablir la conformité si l'on ne peut pas toucher aux rondelles ?

Corrigé

La stratégie. Partir de la condition ; la chaîne de cotes la relie aux cotes des pièces ; les équations aux limites disent si les tolérances la garantissent, la somme des intervalles ce que coûte chaque pièce ajoutée.

1) Deux conditions unilimites. $J \geq 0, 10 mm$ : le pignon doit tourner librement malgré la dilatation et le film de lubrifiant. $J \leq 0, 40 mm$ : le déplacement axial du pignon doit rester limité (la denture reste en prise sur toute sa largeur, les chocs axiaux et le bruit restent faibles). Chacune est une spécification au sens du programme : une condition unilimite sur une caractéristique dimensionnelle, ici le jeu.

2) Chaîne de cotes. On parcourt la boucle à partir du jeu : de la joue droite à la joue gauche ( $a_{0}$ , compté positivement), à travers la rondelle ( $a_{2}$ ) puis le pignon ( $a_{1}$ ), comptés négativement, et l'on revient par le jeu. Chaque pièce n'intervient qu'une fois, par la cote qui relie ses deux surfaces de contact. D'où $J = a_{0} - a_{1} - a_{2} = 25, 25 - 24, 00 - 1, 00 = 0, 25 mm (nominal) .$

3) Équations aux limites. Le jeu est le plus grand quand la cote positive est la plus grande et les cotes négatives les plus petites : $J_{m a x} = 25, 30 - 23, 95 - 0, 95 = 0, 40 mm$ ; le plus petit dans la situation inverse : $J_{m i n} = 25, 20 - 24, 05 - 1, 05 = 0, 10 mm$ . Intervalle de tolérance : $I T (J) = 0, 30 = 0, 10 + 0, 10 + 0, 10$ , la somme des intervalles des trois cotes. Conforme, mais sans aucune marge : l'intervalle admis ( $0, 40 - 0, 10 = 0, 30$ ) est entièrement consommé. Les tolérances des pièces sont justifiées par la condition : aucune ne peut être élargie sans en resserrer une autre.

4) La seconde rondelle. La chaîne compte désormais quatre cotes : $J = a_{0}^{'} - a_{1} - 2 a_{2}$ avec $a_{0}^{'} = 26, 25 \pm 0, 05$ . Nominal inchangé, $0, 25 mm$ ; mais $I T (J) = 0, 10 + 0, 10 + 0, 10 + 0, 10 = 0, 40$ : $J_{m i n} = 26, 20 - 24, 05 - 2, 10 = 0, 05$ et $J_{m a x} = 26, 30 - 23, 95 - 1, 90 = 0, 45 mm$ . Non conforme aux deux bornes, sans qu'aucune pièce ait changé de qualité : une pièce de plus dans la chaîne, c'est un intervalle de tolérance de plus dans la somme. Sans toucher aux rondelles ( $0, 20$ à elles deux), il reste $0, 10 mm$ pour la chape et le pignon : $\pm 0, 025$ chacun, deux fois plus serré, donc plus cher. Sinon, raccourcir la chaîne : une chaîne courte est une chaîne précise, et c'est ici un chiffre.

Ce que l'exercice installe. Une spécification se justifie par la condition fonctionnelle qu'elle garantit : deux conditions unilimites, une chaîne de cotes (une cote par pièce), deux équations aux limites. L'intervalle de tolérance de la condition est la somme des intervalles des cotes : chaque pièce ajoutée consomme une part du jeu admis.

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