Pompe à engrenages : quel montage est glissant, incertain, serré ?

La stratégie. Les bornes du jeu s'obtiennent en prenant les dimensions extrêmes en sens opposés ; la nature se lit sur leur signe et se justifie par ce que le montage doit faire.

1) Jeux limites. $J=D-d$ est le plus grand quand l'alésage est le plus grand et l'arbre le plus petit : $J_{\max }=D_{\max }-d_{\min }$ ; le plus petit dans la situation inverse : $J_{\min }=D_{\min }-d_{\max }$. En écarts, le diamètre nominal s'élimine. Glissant : $J_{\min }\ge 0$, il y a toujours un jeu (au pire nul) ; serré : $J_{\max }\le 0$, il y a toujours un serrage ; incertain : $J_{\min }<0<J_{\max }$, selon les pièces appairées on obtient l'un ou l'autre.

2) Les trois montages.

• (a) $J_{\max }=21-(-20)=41\mu \mathrm{m}$, $J_{\min }=0-(-7)=+7\mu \mathrm{m}$ : glissant, jeu de $7$ à $41\mu \mathrm{m}$.
• (b) $J_{\max }=0-2=-2\mu \mathrm{m}$, $J_{\min }=-12-18=-30\mu \mathrm{m}$ : serré, serrage de $2$ à $30\mu \mathrm{m}$.
• (c) $J_{\max }=25-2=+23\mu \mathrm{m}$, $J_{\min }=0-18=-18\mu \mathrm{m}$ : incertain, de $18\mu \mathrm{m}$ de serrage à $23\mu \mathrm{m}$ de jeu.

3) Le besoin fonctionnel. (a) Le pignon fou tourne sur son axe : il faut un jeu garanti, qui loge le film de lubrifiant et absorbe les dilatations. (b) La bague intérieure tourne par rapport à la charge : avec du jeu, elle roulerait sur l'arbre (laminage, usure par micro-glissements) ; seul un serrage garanti l'immobilise. (c) Le flasque doit être centré avec précision (jeu d'au plus $23\mu \mathrm{m}$) et démontable (un serrage d'au plus $18\mu \mathrm{m}$ se monte au maillet) : c'est le compromis de l'ajustement incertain. La même portée ($+2$ à $+18$) donne un ajustement serré dans la bague et incertain dans le flasque : la nature appartient au couple alésage–arbre ; c'est la tolérance de l'alésage du roulement, sous le nominal, qui rend serrée une portée incertaine ailleurs.

4) Proportion de serrages. Il y a serrage quand $D<d$, avec $D$ uniforme sur $[0;25]$ et $d$ uniforme sur $[2;18]$ (en micromètres). Pour un arbre donné $d$, la probabilité que l'alésage soit plus petit vaut $d/25$ (puisque $d\le 25$) ; en moyennant sur $d$, la probabilité vaut $\overline{d}/25=10/25=$ $40\%$. Un montage incertain n'est pas « un peu serré » : ici, quatre montages sur dix sont serrés et six ont du jeu ; le monteur doit prévoir les deux.

5) Cas limite. Avec l'axe de $0$ à $-13$ : $J_{\min }=0-0=0$, $J_{\max }=21+13=34\mu \mathrm{m}$. L'ajustement est glissant, mais sans jeu garanti : la paire la plus défavorable (alésage au plus petit, axe au plus gros) se monte au contact. On lit parfois « $J_{\min }>0$ » pour tout ajustement avec jeu ; le cas limite montre que la définition est $J_{\min }\ge 0$. Pour un pignon fou, ce n'est pas acceptable : sans jeu, pas de film d'huile, et le pignon grippe à la première dilatation. La fonction exige un jeu minimal strictement positif ; d'où l'axe de $-20$ à $-7$, qui en garantit $7\mu \mathrm{m}$.

Ce que l'exercice installe. La nature d'un ajustement se lit sur le signe de $J_{\min }=D_{\min }-d_{\max }$ et de $J_{\max }=D_{\max }-d_{\min }$, calculés avec les écarts donnés, sans aucun code. Elle se justifie par la fonction (tourner, être immobilisé, centrer et démonter) et elle appartient au couple de pièces. Le cas $J_{\min }=0$ est glissant sans jeu garanti.