Portée d'arbre tournant : coaxialité et battement ne mesurent pas la même chose

La stratégie. Même portée, même référence, mais pas le même élément tolérancé : un axe (coaxialité), la surface vue en tournant (battement). On calcule chacune sur le profil, puis on sépare excentration et forme par les cas limites.

1) Décodage. La référence commune A-B est l'axe de deux cylindres coaxiaux associés simultanément aux deux portées de roulement : l'axe autour duquel l'arbre tourne réellement, porté par les deux roulements à la fois (une portée courte seule le définirait mal). Coaxialité $\varnothing 0,02$ : l'élément tolérancé est l'axe extrait de la portée (lieu des centres des cercles associés aux sections) ; la zone est un cylindre de diamètre $0,02$ coaxial à A-B. Battement circulaire radial $0,015$ : dans chaque section, pendant un tour autour de A-B, la lecture d'un comparateur fixe varie d'au plus $0,015\mathrm{mm}$ ; la zone est la couronne entre deux cercles centrés sur A-B, distants de $0,015$.

2) Diamètre deux points. Deux points opposés sont aux angles $\theta$ et $\theta +\pi$ vus de $C$ : $r(\theta )+r(\theta +\pi )=2R+a\left[\cos 3\theta +\cos (3\theta +3\pi )\right]=2R$, puisque $\cos (3\theta +3\pi )=-\cos 3\theta$. Le diamètre deux points vaut $40,000\mathrm{mm}$ dans toutes les directions : un micromètre déclare la portée parfaite. Un nombre impair de lobes est invisible à toute mesure entre deux touches opposées.

3) Coaxialité. Par la symétrie du profil à trois lobes, le cercle associé à chaque section est centré en $C$ (les lobes se compensent). L'axe extrait est donc la droite des centres $C$, parallèle à A-B à la distance $e=6\mu \mathrm{m}$ : il tient dans un cylindre de diamètre $2e=0,012\mathrm{mm}$ coaxial à A-B. Pour $\varnothing 0,02$ admis : conforme, marge $0,008\mathrm{mm}$.

4) Battement. La distance à l'axe vaut $\rho (\theta )=R+a\cos 3\theta +e\cos \theta$. En $\theta =0$, les deux cosinus valent $1$ : ${\rho }_{\max }=R+a+e$ ; en $\theta =\pi$, ils valent tous deux $-1$ : ${\rho }_{\min }=R-a-e$ ; ce sont bien les extrêmes, puisque chaque terme y atteint sa borne. Battement : ${\rho }_{\max }-{\rho }_{\min }=2a+2e=8+12=20\mu \mathrm{m}=0,020\mathrm{mm}$ pour $0,015$ admis : non conforme, dépassement de $0,005\mathrm{mm}$ (33 %). La même portée est conforme en coaxialité et non conforme en battement.

5) Cas limites et choix. Profil circulaire décentré ($a=0$) : coaxialité $\varnothing 0,012$, battement $0,012$ : les deux ne voient que l'excentration. Profil à trois lobes centré ($e=0$) : coaxialité nulle, battement $2a=0,008$ : seul le battement voit la forme. Le battement contient l'excentration et la forme ; la coaxialité ne voit que la position de l'axe. La lèvre du joint suit la surface en tournant : ce qui la fatigue et ouvre des fuites est l'excursion radiale de la surface. La spécification qui sert la fonction est le battement (la coaxialité servirait un centrage, celui d'un pignon par exemple). Le micromètre étant aveugle aux lobes impairs, le contrôle se fait en rotation, l'arbre posé sur ses portées A et B, au comparateur.

Ce que l'exercice installe. Une spécification se lit d'abord par son élément tolérancé : un axe extrait (coaxialité) ou une surface vue en tournant (battement). Le battement d'un profil vaut $2e+2a$ (excentration et forme), la coaxialité $2e$. Une référence commune A-B est l'axe que réalisent ensemble deux portées. On choisit la spécification selon la fonction, et on choisit la mesure selon le défaut que laisse le procédé.