sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 12 · Exercice de TD

Problème : axe d'articulation d'un vérin, principe de l'indépendance et exigence de l'enveloppe

Spécification Géométrique des Produits (GPS) et Cotation Fonctionnelle · B. Cotation fonctionnelle et chaînes de cotes unidirectionnelles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le bras d'un engin de manutention est articulé sur la tige d'un vérin par un axe de diamètre nominal $80 mm$ et de longueur $250 mm$ , qui traverse les deux oreilles d'une chape (solidaire du bras) et l'œil du vérin, placé entre elles. Le vérin est articulé à son autre extrémité : son œil s'aligne de lui-même. Alésages des oreilles : $80, 000$ à $80, 046 mm$ ; axe : $79, 940$ à $79, 970 mm$ . Après trempe superficielle, la rectitude de l'axe (diamètre du plus petit cylindre qui contient sa ligne des centres) va de $0$ à $0, 05 mm$ (donnée d'atelier). Diamètres locaux et rectitude sont uniformément répartis dans leurs intervalles, indépendants.

Deux définitions, que le dessin doit choisir :

Principe de l'indépendance (règle par défaut) : chaque exigence d'un dessin s'applique seule. Une tolérance de taille ne porte que sur les tailles locales (les diamètres mesurés entre deux points opposés) ; elle ne limite ni la rectitude de l'axe ni la circularité.
Exigence de l'enveloppe (symbole : la lettre E dans un cercle, placée après la tolérance de taille ; c'est le seul modificateur au programme) : en plus des tailles locales, la surface ne doit pas franchir l'enveloppe de forme parfaite à la dimension au maximum de matière. Pour un arbre, la surface doit tenir à l'intérieur d'un cylindre parfait de diamètre $d_{m a x}$ ; pour un alésage, elle doit contenir un cylindre parfait de diamètre $D_{m i n}$ .

1) Nature de l'ajustement. Calculer les jeux limites axe–oreille et donner la nature de l'ajustement ; la justifier par la fonction.

2) Ce que permet le principe de l'indépendance. Sans exigence de l'enveloppe, un axe a ses diamètres locaux égaux à $79, 970 mm$ sur toute sa longueur et une rectitude de $0, 05 mm$ . Est-il conforme ? Quel est le diamètre du plus petit cylindre parfait qui le contient ? Peut-on le monter dans un alésage parfait de $80, 000 mm$ ? Une simulation (tirages indépendants des diamètres et de la rectitude, alésages de forme parfaite) donne $1, 9 %$ de paires « axe conforme, alésage conforme » qui ne s'assemblent pas : écrire la condition de non-montage et commenter.

3) Ce que garantit l'exigence de l'enveloppe. On place le symbole de l'enveloppe sur l'axe et sur les alésages. Quelle rectitude est admise pour un axe de diamètre local $79, 970$ ? de $79, 940$ ? Exprimer la forme admise en fonction du diamètre local. Établir que toute paire d'un axe conforme et d'un alésage conforme s'assemble, et avec quel jeu au minimum.

4) Le prix. Montrer que la proportion d'axes refusés par l'exigence de l'enveloppe vaut $1 - \frac{I T}{2 f _{m}}$ si la rectitude maximale du procédé $f_{m}$ dépasse l'intervalle de tolérance $I T$ de l'axe, et $\frac{f _{m}}{2 I T}$ sinon. Chiffrer pour la trempe telle quelle ( $f_{m} = 0, 05$ ), puis avec une rectification après trempe donnant $f_{m} = 0, 01$ ou $0, 004 mm$ . Le service qualité exige au plus $10 %$ de rebut : quelles solutions ? Conclure sur le lien entre spécification, procédé et coût.

5) Les deux oreilles. L'exigence de l'enveloppe sur chaque alésage suffit-elle pour que l'axe traverse les deux oreilles ? Quelle spécification ajouter, et avec quelle valeur ? (On admet que le cas le plus défavorable est celui de deux alésages au maximum de matière, donc de forme parfaite.)

6) Cas limite. Que deviennent les conclusions des questions 3 et 5 si $J_{m i n} = 0$ (axe et alésage à la même dimension limite, $80, 000 mm$ ) ? Énoncer le résultat obtenu.

Corrigé

La stratégie. Ajustement calculé sur les tailles ; contre-exemple chiffré sous le principe de l'indépendance ; garantie démontrée avec l'enveloppe ; puis son coût, et ce qu'elle ne garantit pas (l'alignement de deux alésages).

1) Nature. $J_{m i n} = 80, 000 - 79, 970 = 0, 030 mm$ et $J_{m a x} = 80, 046 - 79, 940 = 0, 106 mm$ : glissant. L'axe doit tourner (oscillation du bras) et se démonter à la maintenance : il faut un jeu garanti. Ce calcul suppose des pièces de forme parfaite : c'est l'hypothèse que la suite examine.

2) Indépendance : conforme, et pourtant impossible à monter. Les diamètres locaux valent $79, 970$ , dans l'intervalle ; sous le principe de l'indépendance, la tolérance de taille ne regarde rien d'autre, et aucune rectitude n'est spécifiée : l'axe est conforme. Sa ligne des centres tient dans un cylindre de diamètre $0, 05$ , et chaque section a un rayon de $\frac{79 , 970}{2}$ autour d'un point de cette ligne : le plus petit cylindre parfait qui contient l'axe a pour diamètre $79, 970 + 0, 05 = 80, 020 mm$ . Dans un alésage parfait de $80, 000$ , l'interférence vaut $0, 020 mm$ : montage impossible. En général, un axe de diamètre local $d$ et de rectitude $f$ a pour enveloppe $d + f$ , et la paire ne s'assemble pas si $d + f > D$ . La simulation en compte $1, 9 %$ : peu, car il faut à la fois un axe gros, très courbé, et un alésage petit ; mais ce sont des pièces déclarées bonnes, découvertes au montage, là où le tri coûte le plus cher. La spécification ne garantit pas la fonction.

3) L'enveloppe : la forme admise et la garantie. Avec l'enveloppe, l'axe doit tenir dans un cylindre parfait de diamètre $d_{m a x} = 79, 970$ . Un axe de diamètre local $d$ et de rectitude $f$ occupe un cylindre de diamètre $d + f$ : la condition est $d + f \leq d_{m a x}$ , soit $f \leq d_{m a x} - d .$ À $d = 79, 970$ (maximum de matière), $f = 0$ : la forme doit être parfaite. À $d = 79, 940$ (minimum de matière), $f \leq 0, 030 mm$ : la taille et la forme se partagent le même intervalle. La garantie. Un axe conforme tient dans un cylindre parfait $C_{a}$ de diamètre $79, 970$ ; un alésage conforme contient un cylindre parfait $C_{A}$ de diamètre $80, 000$ . Plaçons l'axe de sorte que $C_{a}$ soit coaxial à $C_{A}$ : $C_{a}$ est intérieur à $C_{A}$ , à $0, 015 mm$ de sa paroi ; l'axe est dans $C_{a}$ , la matière de l'alésage hors de $C_{A}$ . Toute paire conforme s'assemble, avec un jeu au moins égal à $D_{m i n} - d_{m a x} = 0, 030 mm$ entre les enveloppes. L'enveloppe est exactement l'hypothèse de forme parfaite du calcul de jeu, posée là où elle compte : au maximum de matière.

4) Le prix. Notons $u = d_{m a x} - d$ , uniforme sur $[0; I T]$ avec $I T = 0, 030 mm$ , et $f$ uniforme sur $[0; f_{m}]$ , indépendants. L'axe est refusé si $f > u$ . Si $f_{m} \geq I T$ : pour $u$ donné, $P (f \leq u) = \frac{u}{f _{m}}$ ; en moyennant, $P (f \leq u) = \frac{u}{f _{m}} = \frac{I T}{2 f _{m}}$ , d'où un refus de $1 - \frac{I T}{2 f _{m}}$ . Si $f_{m} \leq I T$ : pour $f$ donné, $P (u < f) = \frac{f}{I T}$ ; en moyennant, le refus vaut $\frac{f}{I T} = \frac{f _{m}}{2 I T}$ . Les deux expressions valent $50 %$ pour $f_{m} = I T$ : la courbe est continue.

Trempe telle quelle, $f_{m} = 0, 05$ : refus $1 - \frac{0 , 030}{0 , 10} =$ $70 %$ .
Rectification, $f_{m} = 0, 01$ : $\frac{0 , 01}{0 , 06} =$ $16, 7 %$ ; $f_{m} = 0, 004$ : $\frac{0 , 004}{0 , 06} =$ $6, 7 %$ .

Exigence $\leq 10 %$ : $\frac{f _{m}}{2 I T} \leq 0, 10$ donne $f_{m} \leq 0, 2 I T = 0, 006 mm$ : la rectification à $0, 004 mm$ convient ( $6, 7 %$ ), celle à $0, 01$ non. Autre solution : garder $f_{m} = 0, 01$ et élargir l'intervalle de l'axe vers le bas, $I T^{'} \geq \frac{0 , 01}{0 , 20} = 0, 05$ , soit un axe de $79, 920$ à $79, 970$ ; le jeu maximal passe à $0, 126 mm$ , acceptable pour une articulation lente. Spécification, procédé et coût forment un triptyque : l'enveloppe garantit la fonction, mais n'est économique que si le procédé tient la forme bien en dessous de l'intervalle de taille ; sinon on paie en rebut, en reprise ou en jeu.

5) Les deux oreilles. L'enveloppe garantit que chaque alésage contient un cylindre parfait de $80, 000$ , mais rien ne relie leurs positions : deux alésages parfaits dont les axes sont décalés de $δ$ ne laissent passer un axe parfait de $79, 970$ que si une même droite est à moins de $0, 015 mm$ des deux axes, soit $δ \leq 0, 030 mm$ . On ajoute sur chaque alésage une tolérance de coaxialité $\emptyset t$ par rapport à la référence commune A-B (l'axe associé simultanément aux deux alésages). Chaque axe d'alésage est alors à au plus $t /2$ de A-B : l'axe placé sur A-B a tous ses points à au plus $\frac{79 , 970}{2} + \frac{t}{2}$ de l'axe de chaque alésage, ce qui reste sous $\frac{80 , 000}{2}$ si $t \leq 0, 030$ . Coaxialité $\emptyset 0, 03$ par rapport à A-B. L'œil du vérin n'appartient pas à la chape : il s'aligne de lui-même, son articulation opposée lui en laissant la liberté.

6) Cas limite. Si $J_{m i n} = 0$ : avec l'enveloppe, l'assemblage reste garanti, mais au contact, sans jeu ; sans elle, le moindre défaut de forme donne une interférence. Et la question 5 n'a plus de solution : il faudrait une coaxialité $\emptyset 0$ , infabricable. Le jeu minimal apparaît pour ce qu'il est : le budget que se partagent les défauts de forme et de position des pièces à assembler.

Le résultat obtenu — principe de l'indépendance et exigence de l'enveloppe. Par défaut (principe de l'indépendance), une tolérance de taille ne porte que sur les tailles locales : elle ne limite pas la forme, et deux pièces conformes peuvent ne pas s'assembler. L'exigence de l'enveloppe interdit à la surface de franchir l'enveloppe de forme parfaite au maximum de matière (cylindre de diamètre $d_{m a x}$ pour un arbre, $D_{m i n}$ pour un alésage) ; la forme admise vaut $d_{m a x} - d$ pour un arbre de diamètre local $d$ . Si l'arbre et l'alésage la portent, toute paire conforme s'assemble avec un jeu au moins égal à $D_{m i n} - d_{m a x}$ ; l'alignement de plusieurs alésages se spécifie en plus, sur ce budget. Pour l'axe : $1, 9 %$ de paires conformes non montables sans enveloppe ; avec elle, l'assemblage garanti, au prix d'une rectification à $0, 004 mm$ ( $6, 7 %$ de rebut) et d'une coaxialité $\emptyset 0, 03$ des oreilles.

Ce que le problème installe. Lire un dessin, c'est savoir quelle règle s'applique par défaut : l'indépendance. Une condition d'assemblage se garantit par l'enveloppe au maximum de matière, et la garantie se démontre par l'inclusion de deux cylindres parfaits. Une spécification se juge aussi à son coût (rebut, reprise, jeu) en fonction du procédé, et le jeu minimal est un budget à partager entre la forme et la position.

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