sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 12 · Exercice de TD

Semelle de carter : planéité ou parallélisme ?

Spécification Géométrique des Produits (GPS) et Cotation Fonctionnelle · A. Concepts fondamentaux de la norme ISO-GPS et tolérancement · niveau 2

Énoncé

Le carter d'un réducteur repose sur le bâti par sa semelle, la face A. Sa face supérieure, le plan de joint, reçoit un couvercle (joint plat) et porte le moteur, dont l'axe doit rester parallèle au bâti. Le plan de joint, rectangle de $200 \times 120 mm$ , porte deux spécifications : une tolérance de planéité $0, 02$ et une tolérance de parallélisme $0, 05$ par rapport à A. Au contrôle, le carter posé sur un marbre (qui matérialise A), un comparateur relève la hauteur du plan de joint en neuf points ( $x = 0$ , $100$ et $200 mm$ ; $y = 0$ , $60$ et $120 mm$ ). Écarts relevés à la hauteur nominale, en millimètres :

	$x = 0$	$x = 100$	$x = 200$
$y = 0$	$0, 012$	$0, 036$	$0, 050$
$y = 60$	$0, 023$	$0, 048$	$0, 061$
$y = 120$	$0, 023$	$0, 050$	$0, 064$

Le logiciel de la machine donne le plan associé à ces neuf points par le critère de la zone minimale (le plan qui rend la plus petite possible la plus grande distance aux points) : $z = 0, 01475 + 0, 000205 x + 0, 0001167 y$ ( $x$ , $y$ , $z$ en millimètres). Il donne aussi, pour comparaison, la zone obtenue autour du plan des moindres carrés : $0, 012 mm$ .

1) Décoder les deux spécifications : élément tolérancé, référence, forme de la zone, orientation et position de la zone. Montrer que toute surface conforme au parallélisme $t$ est aussi conforme à une planéité $t$ . Qu'en déduire sur la cohérence des deux valeurs ?

2) Construire la zone de parallélisme à partir des mesures ; conclure.

3) Calculer les écarts des neuf points au plan associé donné ; en déduire la zone de planéité et conclure. Pourquoi retenir la zone minimale plutôt que celle des moindres carrés ?

4) Rechercher la cause de l'écart à partir du plan associé, et proposer une reprise.

5) Nommer les opérations effectuées (extraction, association) et dire ce que vaut un verdict établi sur neuf points. Cas limite : que dirait la même mesure d'une face parfaitement plane, mais inclinée de $0, 06 mm$ sur sa longueur ?

Corrigé

La stratégie. Une même surface, deux zones : l'une d'orientation libre (planéité), l'autre parallèle à la référence (parallélisme) ; on construit chacune avec les points, et l'écart entre les deux verdicts dit la nature du défaut.

1) Décodage. Planéité $0, 02$ : élément tolérancé, la surface du plan de joint ; pas de référence ; zone, deux plans parallèles distants de $0, 02 mm$ , d'orientation et de position libres. Parallélisme $0, 05$ par rapport à A : même élément ; référence A, le plan associé à la semelle côté extérieur à la matière (le marbre la simule) ; zone, deux plans distants de $0, 05 mm$ parallèles à A, libres en hauteur. Une surface comprise entre deux plans parallèles à A distants de $t$ est conforme à une planéité $t$ : le parallélisme limite déjà la forme, et une planéité n'ajoute une exigence que si elle est plus petite, $t_{forme} \leq t_{orientation}$ . Ici $0, 02 < 0, 05$ : cohérent (étanchéité du joint d'un côté, alignement du moteur de l'autre).

2) Parallélisme. Les plans de la zone sont parallèles au marbre : ce sont des plans « $z =$ constante ». La plus petite zone de ce type va du point le plus bas au point le plus haut : $z_{m i n} = 0, 012$ en $(0; 0)$ , $z_{m a x} = 0, 064$ en $(200; 120)$ , d'où une zone de $0, 064 - 0, 012 = 0, 052 mm$ pour $0, 05$ admis : non conforme, avec un dépassement de $0, 002 mm$ (4 %).

3) Planéité. Écart d'un point au plan associé : $e = z - (0, 01475 + 0, 000205 x + 0, 0001167 y)$ . Par exemple au centre : $0, 048 - (0, 01475 + 0, 0205 + 0, 0070) = + 0, 00575 mm$ . Les neuf écarts, en micromètres :

	$x = 0$	$x = 100$	$x = 200$
$y = 0$	$- 2, 75$	$+ 0, 75$	$- 5, 75$
$y = 60$	$+ 1, 25$	$+ 5, 75$	$- 1, 75$
$y = 120$	$- 5, 75$	$+ 0, 75$	$- 5, 75$

Écarts extrêmes : $+ 5, 75 μ m$ (un point) et $- 5, 75 μ m$ (trois points), équilibrés : c'est la signature de la zone minimale. Zone de planéité : $11, 5 μ m = 0, 0115 mm$ pour $0, 02$ admis : conforme, marge $0, 0085 mm$ . Le plan des moindres carrés minimise la somme des carrés des écarts, pas le plus grand : sa zone ( $0, 012$ ) est toujours au moins aussi large. Même verdict ici, mais près de la limite il refuserait une pièce conforme ; la zone minimale est le critère de la définition (« deux plans au plus proches »).

4) Cause et reprise. Le plan associé monte de $0, 000205 \times 200 = 0, 041 mm$ sur la longueur et de $0, 0001167 \times 120 = 0, 014 mm$ sur la largeur, soit $0, 055 mm$ d'un coin à l'autre, contre $\pm 0, 006 mm$ de défaut de forme. La face est plane mais inclinée : défaut d'orientation, dû à la mise en position lors de l'usinage. Reprise : surfacer à nouveau le plan de joint en posant le carter sur sa semelle A ; la face usinée devient parallèle à la référence par construction, et la zone de parallélisme se réduit vers celle de planéité.

5) Opérations et cas limite. Le relevé est une extraction (neuf points remplacent la surface) ; le plan associé, une association (un plan parfait ajusté selon un critère) ; le marbre réalise l'association de la référence. Le verdict porte sur le modèle extrait : un creux entre deux points est invisible. Neuf points suffisent à refuser une pièce, pas à garantir qu'elle est bonne. Cas limite : une face parfaitement plane inclinée de $0, 06 mm$ a une planéité nulle (conforme) et un parallélisme de $0, 06$ (non conforme) : la référence fait toute la différence.

Ce que l'exercice installe. Décoder une spécification par zone en trois mots : élément, référence, zone (forme, orientation, position). Une tolérance d'orientation contient la forme : la tolérance de forme qui l'accompagne doit être plus petite. On construit chaque zone avec les points donnés, et la comparaison des deux verdicts dit la nature du défaut (forme ou orientation), donc la reprise.

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