sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Arbre de pompe : palier fixe et palier libre, ou l'hyperstatisme chiffré par la dilatation

Conception Mécanique et Solutions Technologiques des Liaisons · A. Guidage en rotation par roulements · niveau 2

Énoncé

L'arbre d'une pompe centrifuge pour fluide chaud est guidé dans un carter en fonte par deux roulements rigides à billes $A$ et $B$ distants de $ℓ = 450 mm$ ; la roue est en porte-à-faux, à $50 mm$ de $A$ . Bagues intérieures serrées. Montage à $20^{\circ} C$ ; en service, arbre à $80^{\circ} C$ , carter à $50^{\circ} C$ . Dilatation : acier $α_{a} = 12 \cdot 1 0^{- 6} K^{- 1}$ , fonte $α_{f} = 10, 5 \cdot 1 0^{- 6} K^{- 1}$ . Données de l'énoncé : jeu axial interne de chaque roulement $0, 04 mm$ ; raideur axiale de l'ensemble, jeux rattrapés, $20 N / μ m$ ; charge radiale de chaque roulement $1, 5 kN$ . Exigences : (E1) aucun effort axial parasite en service ; (E2) position axiale de la roue tenue à $\pm 0, 05 mm$ .

1) Un roulement rigide à billes arrêté axialement dans les deux sens se modélise par une rotule en son centre ; s'il peut coulisser, par une linéaire annulaire. Graphe des liaisons et degré d'hyperstatisme des modèles « rotule en $A$ , rotule en $B$ » et « rotule en $A$ , linéaire annulaire en $B$ ». Quelle condition géométrique est associée à l'hyperstatisme du premier ?

2) Calculer l'allongement $δ$ de l'arbre par rapport au carter entre $A$ et $B$ .

3) Montage M1 : deux paliers fixes. Effort axial parasite en service ; conclure sur (E1).

4) Montage M2 : chaque bague extérieure arrêtée dans un seul sens, vers l'extérieur, avec un jeu de montage $j$ à froid. Jeu minimal sans effort parasite ; jeu axial de l'arbre à froid ; conclure sur (E1) et (E2).

5) Montage M3 : palier fixe en $A$ , palier libre en $B$ . Conclure. Où placer le palier fixe ?

Corrigé

La stratégie. On écrit le modèle, on calcule son degré d'hyperstatisme et l'on chiffre la condition géométrique qu'il impose, ici la dilatation différentielle. Un montage hyperstatique n'est faux que si sa condition géométrique ne peut pas être tenue en service.

1) Modèles. Deux solides, carter $0$ et arbre $1$ , reliés par deux liaisons en parallèle : un cycle, $E_{c} = 6$ ; mobilité $m = 1$ (rotation de l'arbre). Une rotule a trois inconnues cinématiques, une linéaire annulaire quatre.

Deux rotules : $I_{c} = 6$ , $h = 1 - 6 + 6 = 1$ . En statique, six inconnues et cinq équations utiles (la projection du moment sur l'axe donne $0 = 0$ ). L'inconnue indéterminée est axiale : seule la somme des efforts axiaux en $A$ et $B$ est fixée.
Rotule et linéaire annulaire : $I_{c} = 7$ , $h = 1 - 7 + 6 = 0$ ; liaison équivalente pivot, isostatique.

Condition géométrique du premier modèle : la distance $A B$ doit être exactement la même sur l'arbre et dans le carter ; sinon l'écart se loge en déformation, donc en effort axial.

2) Dilatation. Arbre : $450 \times 12 \cdot 1 0^{- 6} \times 60 = 0, 324 mm$ ; carter : $450 \times 10, 5 \cdot 1 0^{- 6} \times 30 = 0, 142 mm$ ; $δ = 0, 182 mm$ , près de quatre fois la tolérance de $\pm 0, 05 mm$ de la roue.

3) M1. Les jeux internes absorbent $0, 08 mm$ ; il reste $102 μ m$ en déformation, soit $F_{a} = 102 \times 20 = 2040 N \approx 2, 0 kN$ , plus que la charge radiale utile de chaque roulement : (E1) non conforme.

4) M2. Sans effort à chaud : $j + 0, 08 \geq 0, 182$ , soit $j \geq 0, 102 mm$ . Mais à froid l'arbre a alors un jeu axial de $0, 102 + 0, 080 = 0, 182 mm$ , soit $\pm 0, 091 mm$ : (E1) conforme, (E2) non conforme. On ne peut pas à la fois laisser l'arbre se dilater et le positionner par les deux roulements.

5) M3. Modèle isostatique : aucune condition sur $A B$ . La bague extérieure de $B$ , glissante, coulisse dans le carter et absorbe $δ$ sans effort : (E1) conforme. L'arbre est positionné par $A$ seul, à son jeu interne près, $\pm 0, 02 mm$ . Reste la dérive thermique de la roue : entre le palier fixe et la roue, l'arbre s'allonge relativement au carter de $0, 182/450 = 4, 05 \cdot 1 0^{- 4} mm$ par millimètre. Palier fixe en $A$ , à $50 mm$ : $0, 020 mm$ , au total $0, 04 \leq 0, 05 mm$ : (E2) conforme, marge $0, 01 mm$ . Palier fixe en $B$ , à $500 mm$ : $0, 20 mm$ , non conforme. Le palier fixe se place du côté de l'organe à positionner.

Ce que l'exercice installe. « Palier fixe, palier libre » n'est pas une recette : c'est le modèle isostatique (rotule et linéaire annulaire en parallèle, liaison équivalente pivot) d'un guidage par deux roulements. Deux rotules font un modèle hyperstatique d'ordre 1, dont la condition géométrique est violée par la dilatation différentielle ; on la chiffre, puis on la convertit en effort par une raideur. Le palier fixe se place près de ce qu'il faut positionner.

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