sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Moteur et pignon : clavette ou frettage ?

Conception Mécanique et Solutions Technologiques des Liaisons · A. Guidage en rotation par roulements · niveau 2

Énoncé

Un pignon doit être lié à l'arbre d'un moteur de diamètre $d = 35 mm$ . Couple nominal $C = 280 N \cdot m$ , à-coups au démarrage jusqu'à $2 C = 560 N \cdot m$ . Denture de $30 mm$ de large ; le moyeu peut s'allonger jusqu'à $45 mm$ , pas au-delà.

Clavette parallèle $10 \times 8$ (largeur $b = 10 mm$ , hauteur $h = 8 mm$ , engagée de $h /2$ dans le moyeu), à bouts ronds : longueur totale égale à la longueur utile plus $b$ . Pression admissible au matage sous le couple nominal, à-coups compris (donnée) : $p_{a d m} = 80 MPa$ .

Frettage sur la largeur de la denture, $L = 30 mm$ ; moyeu de diamètre extérieur $D = 70 mm$ ; acier, $E = 210 GPa$ ; coefficient d'adhérence $f = 0, 15$ ; serrage diamétral $δ$ compris entre $30$ et $50 μ m$ selon les pièces réalisées. On donne (formules de Lamé, résistance des matériaux de deuxième année ; même matériau, arbre plein) la pression de contact et la contrainte tangentielle au bord de l'alésage : $p = \frac{E δ}{2 d} (1 - \frac{d ^{2}}{D ^{2}}), σ_{t} = p \frac{D ^{2} + d ^{2}}{D ^{2} - d ^{2}} .$ Exigences : (E1) moyeu $\leq 45 mm$ ; (E2) clavette : matage $\leq p_{a d m}$ ; (E3) frettage : pas de glissement sous $2 C$ ; (E4) frettage : $σ_{t} \leq 200 MPa$ .

1) Clavette. Calculer l'effort tangentiel $F_{t}$ au rayon de l'arbre. Avec une pression uniforme sur la face de la clavette en contact avec le moyeu, établir la longueur utile minimale, puis la longueur totale ; conclure sur (E1).

2) Frettage, le modèle. La pression de contact $p$ est uniforme sur le cylindre de diamètre $d$ et de longueur $L$ . Quelle densité tangentielle à la limite du glissement ? En déduire le couple transmissible $C_{ma x}$ .

3) Calculer $p$ et $C_{ma x}$ au serrage nominal ( $40 μ m$ ), puis au serrage minimal ; conclure sur (E3).

4) Calculer $σ_{t}$ au serrage maximal ; conclure sur (E4). De combien chauffer le pignon pour que son alésage dépasse l'arbre d'un jeu de $20 μ m$ au serrage maximal ( $α = 12 \cdot 1 0^{- 6} K^{- 1}$ ) ?

5) Cas limite. Quel serrage minimal tient $2 C$ ? Que transmettrait un « frettage » à $2, 5 MPa$ de pression de contact ? Quelle est la nature de l'ajustement, et pourquoi ne suffit-il pas de la donner ?

Corrigé

La stratégie. La clavette transmet par obstacle (pression normale sur une face plane, limitée par le matage), le frettage par adhérence (densité tangentielle sur un cylindre, limitée par Coulomb). On passe chaque fois du modèle local au modèle global, puis on conclut au pire cas des tolérances.

1) Clavette. $F_{t} = \frac{C}{d /2} = \frac{280}{0 , 0175} = 16000 N$ . La pression uniforme sur la face $\frac{h}{2} L_{u}$ a pour résultante $p \frac{h}{2} L_{u} = F_{t}$ ; $p \leq p_{a d m}$ donne $L_{u} \geq \frac{2 F _{t}}{h p _{a d m}} = \frac{2 \times 16 000}{8 \times 80} = 50 mm .$ Longueur totale $60 mm$ : le moyeu devrait mesurer $60 mm$ , (E1) non conforme. Deux clavettes ne partageraient le couple que si les rainures étaient parfaitement placées : montage hyperstatique.

2) Frettage, le modèle. À la limite du glissement, la densité tangentielle vaut $τ = f p$ en tout point, perpendiculaire à l'axe. Chaque élément $d S$ apporte le moment $\frac{d}{2} f p d S$ , même bras de levier et même sens partout : $C_{ma x} = \iint_{S} \frac{d}{2} f p d S = f p π d L \frac{d}{2} .$

3) Couple transmissible. Nominal : $p = \frac{210 \cdot 1 0 ^{3} \times 0 , 040}{2 \times 35} \times (1 - \frac{1}{4}) = 90 MPa$ et $C_{ma x} = 0, 15 \times 90 \cdot 1 0^{6} \times π \times 0, 035 \times 0, 030 \times 0, 0175 = 779 N \cdot m,$ $2, 78$ fois le couple nominal. Mais $p$ est proportionnelle à $δ$ : au serrage minimal, $p = 67, 5 MPa$ et $C_{ma x} = 584 N \cdot m \geq 560$ : (E3) conforme, marge $4 %$ ; moyeu de $30 mm$ : (E1) conforme.

4) Contrainte et montage. Au serrage maximal, $p = 112, 5 MPa$ et $σ_{t} = 112, 5 \times \frac{7 0 ^{2} + 3 5 ^{2}}{7 0 ^{2} - 3 5 ^{2}} = 112, 5 \times \frac{5}{3} = 187, 5 MPa \leq 200$ : (E4) conforme, marge $6 %$ . Le serrage est encadré des deux côtés : trop faible, il glisse ; trop fort, il plastifie le moyeu. Montage : $α d Δ T = 50 + 20 = 70 μ m$ , soit $Δ T = \frac{70 \cdot 1 0 ^{- 6}}{12 \cdot 1 0 ^{- 6} \times 0 , 035} = 167 K$ , un pignon à environ $187^{\circ} C$ .

5) Cas limite. Tenir $2 C$ demande $p \geq \frac{560}{779} \times 90 = 64, 7 MPa$ , soit $δ \geq 28, 7 μ m$ : le serrage minimal passe de justesse. À $2, 5 MPa$ , $C_{ma x} = 21, 6 N \cdot m$ , treize fois moins que le couple nominal : un frettage travaille à plusieurs dizaines de mégapascals, ou ne travaille pas. La nature est serrée ; mais le couple étant proportionnel au serrage, il faut chiffrer et encadrer ce serrage, par les cotes tolérancées de l'arbre et de l'alésage.

Ce que l'exercice installe. Clavette ou frettage se comparent par leurs modèles locaux : pression normale sur une face (matage), ou densité tangentielle d'adhérence sur un cylindre, d'où $C_{ma x} = f p π d L \frac{d}{2}$ par une intégrale à bras de levier constant. Une exigence se vérifie au pire cas des tolérances : serrage minimal pour le glissement, maximal pour la contrainte et le montage.

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