sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Palier lisse de ventilateur : coussinet fritté ou roulement ?

Conception Mécanique et Solutions Technologiques des Liaisons · B. Guidage en translation et vis à billes · niveau 2

Énoncé

L'arbre d'un ventilateur, $d = 25 mm$ , tourne à $N = 900 tr/min$ ; chaque palier porte $F = 1, 5 kN$ radialement. On envisage un coussinet en bronze fritté imprégné d'huile, de diamètre extérieur $32 mm$ et de longueur $L$ à choisir ; données du constructeur : $p_{a d m} = 10 MPa$ , $V_{a d m} = 6 m/s$ , $(p V)_{a d m} = 1, 8 MPa \cdot m/s$ . Concurrent : roulement rigide à billes d'alésage $25 mm$ , diamètre extérieur $52 mm$ , largeur $15 mm$ . Exigences : critères du constructeur ; logement de diamètre $40 mm$ et de longueur $45 mm$ au plus.

1) On adopte une pression $p_{0}$ uniforme sur le demi-cylindre chargé. Montrer que la résultante vaut $p_{0} d L$ : la pression « projetée » $p = \frac{F}{d L}$ est cette pression uniforme.

2) Calculer la vitesse de glissement $V$ . Montrer que la puissance de frottement par unité de surface vaut $f p V$ : que limite le critère $p V$ ?

3) Vérifier les critères pour $L = 25 mm$ ; longueur minimale ; marge pour $L = 40 mm$ .

4) Comparer l'encombrement du coussinet et du roulement aux exigences ; conclure.

5) Cas limite. Une articulation de pelle : axe de $40 mm$ , bague de $50 mm$ , charge $30 kN$ , oscillation de $\pm 3 0^{\circ}$ à $0, 2 Hz$ . Vitesse de glissement moyenne, $p$ , $p V$ ; quel critère décide ?

Corrigé

La stratégie. Un palier lisse se vérifie sur trois critères : pression (matage, extrusion), vitesse (usure), et leur produit, qui mesure l'échauffement. On établit d'abord le sens de $p$ et de $p V$ , puis on chiffre.

1) Pression projetée. Sur le demi-cylindre chargé, repéré par l'angle $θ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ depuis la direction de la charge, l'élément $d S = L \frac{d}{2} d θ$ reçoit $p_{0} d S$ , dont la projection sur la direction de la charge vaut $p_{0} cos θ d S$ (les composantes perpendiculaires se compensent par symétrie) : $\int_{- π /2}^{π /2} p_{0} cos θ L \frac{d}{2} d θ = p_{0} d L .$ La résultante d'une pression uniforme sur une surface courbe est la pression fois l'aire projetée. Le vrai champ de pression n'est pas uniforme ; le constructeur donne ses valeurs admissibles pour cette pression conventionnelle.

2) Vitesse et échauffement. $V = ω \frac{d}{2} = \frac{2 π \times 900}{60} \times 0, 0125 = 1, 18 m/s$ . La densité tangentielle de frottement vaut $f p$ ; sa puissance par unité de surface est $f p V$ . Le critère $p V$ limite la chaleur produite par unité de surface, que le coussinet doit évacuer sans dégrader son huile.

3) Vérification. $L = 25 mm$ : $p = \frac{1 500}{25 \times 25} = 2, 4 MPa \leq 10$ , $V = 1, 18 \leq 6 m/s$ , mais $p V = 2, 83 > 1, 8$ : non conforme, alors que $p$ et $V$ sont loin de leurs limites. Comme $p V = \frac{F V}{d L}$ , il faut $L \geq \frac{1 500 \times 1 , 18}{25 \times 1 , 8} = 39, 3 mm$ ; $L = 40 mm$ : $p = 1, 5 MPa$ , $p V = 1, 77$ : conforme, marge $2 %$ .

Le domaine admissible est sous l'hyperbole $p V = 1, 8$ et sous $p_{a d m}$ ; allonger le coussinet fait descendre le point à $V$ constant.

4) Encombrement. Coussinet $32 \times 40 mm$ dans un logement $40 \times 45$ : conforme. Roulement : presque trois fois plus court, mais son diamètre de $52 mm$ dépasse le logement : non conforme. Le coussinet est la solution radialement compacte, le roulement la solution axialement compacte ; ici, c'est le diamètre qui est contraint. Le coussinet est aussi silencieux et sans entretien ; son frottement, plus élevé, se paie en chaleur, que $p V$ vient de limiter.

5) Cas limite. Par cycle, l'axe parcourt $4 \times 3 0^{\circ} = 2, 09 rad$ ; un cycle dure $5 s$ , d'où $0, 419 rad s^{- 1}$ en moyenne et $V = 0, 419 \times 0, 020 = 8, 4 mm/s$ . $p = \frac{30 000}{40 \times 50} = 15 MPa > 10$ : non conforme, alors que $p V = 0, 13$ , quatorze fois sous la limite. Aux faibles vitesses, seule la pression décide : bronze massif, acier traité graissé, ou bague plus longue.

Ce que l'exercice installe. La pression diamétrale $F / (d L)$ est la pression uniforme équivalente sur le demi-cylindre (aire projetée) ; $V = ω d /2$ ; $f p V$ est la puissance de frottement par unité de surface. Trois critères à la fois, et celui qui décide change avec le régime : $p V$ pour un arbre rapide, $p$ pour une articulation lente. Coussinet ou roulement se tranche sur l'encombrement réellement contraint.

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