sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Poussoir de presse : la longueur de guidage qui évite l'arc-boutement

Conception Mécanique et Solutions Technologiques des Liaisons · B. Guidage en translation et vis à billes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le poussoir d'une presse est guidé dans une bague en bronze de longueur $L$ . Un vérin le pousse par un effort $P$ parallèle à l'axe mais décalé de $a = 120 mm$ ; l'outil, sur l'axe, oppose la charge utile $R$ . À cause du jeu radial, le poussoir s'incline très légèrement et ne touche la bague qu'en deux points diagonalement opposés, $A$ et $B$ , distants de $L$ selon l'axe. Frottement acier sur bronze graissé (donnée) : $f = 0, 15$ ; douilles à billes : $f = 0, 005$ . Poids négligé. Exigences : (E1) jamais de blocage ; (E2) en régime établi, $P \leq 1, 5 R$ .

1) Isoler le poussoir ; actions en $A$ et $B$ en glissement. Montrer que les deux actions normales sont égales et que les deux frottements ont un moment résultant nul ; en déduire $N L = P a$ et $P - R - 2 f N = 0$ .

2) Établir $\frac{P}{R} = \frac{1}{1 - 2 f a / L}$ . Que se passe-t-il si $L \leq 2 f a$ ? Longueur minimale de la bague en bronze.

3) $P / R$ pour $L = 60$ , $40$ et $37 mm$ . Quelle longueur exige (E2) ?

4) Mêmes questions avec des douilles à billes ; conclure.

5) Cas limite. Effort du vérin sur l'axe ( $a = 0$ ) ? Quel paramètre compte vraiment ?

Corrigé

La stratégie. Le décalage de l'effort moteur crée un moment que seules les actions normales du guidage équilibrent ; ces actions engendrent du frottement, qui s'oppose à l'effort moteur. Le principe fondamental de la statique et Coulomb donnent l'effort moteur, et la condition où il devient infini : l'arc-boutement.

1) Équilibre. Actions : $P$ (axial, à la distance $a$ ), $R$ (axial, sur l'axe, opposé), et en $A$ et $B$ une composante normale ( $N_{A}$ , $N_{B}$ ) et un frottement axial $f N_{A}$ , $f N_{B}$ , opposé au mouvement. Projection perpendiculaire à l'axe : $N_{A} = N_{B} = N$ . Les deux frottements sont égaux, de même sens, à égale distance de l'axe de part et d'autre : leurs moments au centre du guidage sont opposés. Moment au centre : les deux normales forment un couple de bras $L$ qui équilibre le moment de $P$ : $N L = P a$ . Projection sur l'axe : $P - R - 2 f N = 0$ .

2) Arc-boutement. Avec $N = P a / L$ : $P (1 - \frac{2 f a}{L}) = R, \frac{P}{R} = \frac{1}{1 - 2 f a / L} .$ Si $L \leq 2 f a$ , aucun effort $P$ ne fait avancer le poussoir : tout supplément de $P$ crée plus de frottement qu'il n'apporte de poussée. C'est l'arc-boutement. En bronze, $L_{min} = 2 \times 0, 15 \times 120 = 36 mm$ ; avec un coefficient de $1, 5$ sur la longueur, $54 mm$ .

3) L'approche de la limite. $L = 60$ : $P / R = \frac{1}{1 - 36/60} = 2, 5$ ; $L = 40$ : $10$ ; $L = 37$ : $37$ . L'arc-boutement se paie avant d'être atteint. (E2) : $1 - 36/ L \geq \frac{2}{3}$ , soit $L \geq 108 mm = 6 f a$ ; les $54 mm$ « sûrs » donnent $P / R = 3$ , non conformes. C'est (E2), pas (E1), qui dimensionne.

4) Douilles à billes. $L_{min} = 1, 2 mm$ ; (E2) : $L \geq 3, 6 mm$ ; une douille de $60 mm$ donne $P / R = 1, 02$ . Le frottement divisé par trente divise la longueur nécessaire d'autant : (E1) et (E2) conformes pour toute douille réelle. C'est la raison d'être des douilles à billes ; en bronze, il faudrait $108 mm$ .

5) Cas limite. Si $a = 0$ , $N = 0$ : ni frottement ni arc-boutement, quelle que soit $L$ . Le paramètre est le rapport $f a / L$ : rapprocher l'effort de l'axe est souvent plus efficace qu'allonger le guidage.

Ce que l'exercice installe. Un guidage en translation chargé hors de son axe travaille sur deux appuis diagonaux ; le principe fondamental de la statique et Coulomb donnent $P = R / (1 - 2 f a / L)$ et la condition d'arc-boutement $L \leq 2 f a$ . L'exigence d'effort dimensionne avant celle de blocage ; les éléments roulants rendent la condition inoffensive.

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