Problème — Broche d'usinage à grande vitesse, roulements hybrides, complément

Conception Mécanique et Solutions Technologiques des Liaisons · niveau 2

Énoncé

Une broche d'usinage tourne à $N = 30000 tr/min$ . Elle est guidée par deux paires de roulements à billes à contact oblique, préchargés, dits hybrides : bagues en acier, billes en nitrure de silicium $S i_{3} N_{4}$ ; charge dynamique de base $C = 18500 N$ . Données de l'énoncé : masses volumiques $7850 kg m^{- 3}$ (acier) et $3200 kg m^{- 3}$ (céramique) ; modules d'Young $210$ et $310 GPa$ ; coefficients de dilatation $12 \cdot 1 0^{- 6}$ et $3, 2 \cdot 1 0^{- 6} K^{- 1}$ ; billes de $8 mm$ de diamètre, centres sur un cercle de rayon $30 mm$ ; la cage tourne à $0, 44$ fois la vitesse de l'arbre.

Calculer l'effort centrifuge sur une bille, en acier puis en céramique. Justifier l'emploi de la céramique.
Effort de coupe : $F_{r} = 1200 N$ , $F_{a} = 600 N$ . On vérifie, par hypothèse pessimiste, le roulement le plus chargé de la paire avant en lui attribuant tout cet effort ; on donne $X = 0, 44$ et $Y = 1, 54$ ( $F_{a} / F_{r} > e$ ). Calculer $P$ , puis la durée de vie nominale, donnée : $L_{10} = (C / P)^{3}$ millions de tours, et sa valeur en heures.

Corrigé

1. Une bille décrit un cercle de rayon $r = 0, 030 m$ à la vitesse angulaire de la cage, $ω_{c} = 0, 44 \times \frac{2 π \times 30 000}{60} = 1382 rad s^{- 1}$ ; l'effort nécessaire est le produit de sa masse par son accélération normale $r ω_{c}^{2}$ , et c'est la bague extérieure qui le fournit. Bille en acier : $m = 7850 \times \frac{π}{6} \times 0, 00 8^{3} = 2, 10 g$ et $m r ω_{c}^{2} = 2, 10 \cdot 1 0^{- 3} \times 0, 030 \times 138 2^{2} = 121 N$ ; en céramique, $0, 86 g$ et $49 N$ . L'effort de coupe, réparti sur une quinzaine de billes, en donne de l'ordre d'une centaine de newtons à chacune : à cette vitesse, l'effort centrifuge est du même ordre que la charge utile, et il s'y ajoute sur la bague extérieure. La céramique est $59 %$ plus légère ( $3 200/7 850 = 0, 41$ ) : elle divise cet effort par $2, 5$ . Son module d'Young plus élevé ( $+ 48 %$ ) rend les contacts plus rigides ; sa dilatation $3, 75$ fois plus faible rend la précharge moins sensible à l'échauffement.

2. $P = X F_{r} + Y F_{a} = 0, 44 \times 1200 + 1, 54 \times 600 = 528 + 924 = 1452 N$ , puis

$L_{10} = (\frac{18 500}{1 452})^{3} = 2068 millions de tours, L_{10 h} = \frac{2 068 \cdot 1 0 ^{6}}{60 \times 30 000} = 1149 h .$

Deux milliards de tours passent en $48$ jours de marche continue : à très grande vitesse, une charge modeste suffit à consommer la durée de vie. Le calcul est pessimiste sur la répartition (la paire se partage l'effort) mais optimiste sur la vitesse : la formule de $L_{10}$ ignore l'effort centrifuge de la question 1. C'est lui que les billes céramiques réduisent, et c'est lui qui limite la vitesse des broches.

Problème — Broche d'usinage à grande vitesse, roulements hybrides, complément

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