sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Problème : moyeu de roue de voiture, deux rangées de billes à contact oblique, en O et pas en X

Conception Mécanique et Solutions Technologiques des Liaisons · A. Guidage en rotation par roulements · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le moyeu d'une roue avant tourne sur un roulement à deux rangées de billes à contact oblique : bague extérieure commune fixée au porte-moyeu, bagues intérieures liées au moyeu. Chaque bille touche ses bagues selon la ligne de contact, inclinée de l'angle de contact $α$ sur le plan de la rangée ; les lignes de contact d'une rangée coupent l'axe en un même point, le centre de poussée de la rangée. Données : rangées écartées de $s = 36 mm$ , rayon de la circonférence des centres des billes $r_{p} = 32 mm$ , $α = 3 5^{\circ}$ . Disposition en O : les lignes de contact s'écartent l'une de l'autre en se rapprochant de l'axe.

Cas de charge (virage, roue extérieure) : action du sol au point de contact $I$ , à $R = 0, 30 m$ sous l'axe : verticale $F_{z} = 5, 8 kN$ , latérale (parallèle à l'axe, vers le véhicule) $F_{y} = 3, 5 kN$ . Plan de la roue au milieu des rangées (simplification) ; poids de la roue négligé. En ligne droite, la roue porte $4, 1 kN$ . Exigence : charge radiale par rangée $\leq 18 kN$ (charge admissible, coefficient de sécurité inclus, donnée de l'énoncé).

1) Le modèle. Graphe des liaisons (porte-moyeu $0$ , moyeu et roue $1$ ). Justifier qu'une rangée transmet un effort dont la ligne d'action passe par son centre de poussée. Comparer les modèles « deux rotules aux centres de poussée » et « rotule et linéaire annulaire » : hyperstatisme, liaison équivalente. Le roulement réel est préchargé : que signifie ce choix pour le modèle ?

2) Les centres de poussée. Établir que chaque centre de poussée est décalé de $r_{p} tan α$ du plan de sa rangée ; en déduire l'écartement des centres de poussée en O, $a_{O}$ , et dans la disposition inverse, en X, $a_{X}$ .

3) Le principe fondamental de la statique. Isoler la roue et le moyeu (modèle rotule et linéaire annulaire). Établir $F_{r 1} = \frac{F _{z}}{2} + \frac{F _{y} R}{a}$ et $F_{r 2} = \frac{F _{z}}{2} - \frac{F _{y} R}{a}$ , les calculer en O et conclure.

4) Le même roulement en X. Charges et conclusion. Cas limite : pour quel angle de contact les deux centres de poussée sont-ils confondus ? Que devient la liaison équivalente ?

5) Le contact radial. Avec deux roulements rigides à billes ( $α = 0$ ), charge de la rangée la plus chargée pour $s = 36 mm$ ; écartement nécessaire.

6) Conclusion. Bilan des trois architectures ; comparaison à la ligne droite ; pourquoi les cartouches de roulements des essieux ferroviaires, à deux rangées de rouleaux coniques, sont aussi montées en O. Énoncer le résultat obtenu.

Corrigé

La stratégie. Un roulement à deux rangées est deux liaisons en parallèle ; tout le problème est de savoir où les placer. Elles sont aux centres de poussée, pas dans les plans des rangées ; le principe fondamental de la statique fait alors de l'écartement des centres de poussée le bras de levier qui reprend le moment de renversement.

1) Le modèle. Graphe : $0$ et $1$ reliés par deux liaisons en parallèle (rangées 1 et 2), un cycle. Une bille en équilibre entre ses bagues est un solide soumis à deux forces : elles sont portées par la ligne de contact. L'action d'une rangée sur le moyeu est donc une somme d'efforts passant tous par le centre de poussée : son moment en ce point est nul, et la rangée se modélise par une rotule centrée au centre de poussée.

Deux rotules : $I_{c} = 6$ , $E_{c} = 6$ , $m = 1$ , $h = 1$ ; l'inconnue indéterminée est axiale.
Rotule et linéaire annulaire : $I_{c} = 7$ , $h = 0$ ; liaison équivalente pivot d'axe $C_{1} C_{2}$ .

Un roulement préchargé est construit pour que les deux rangées restent en contact, comprimées l'une contre l'autre : c'est le modèle à deux rotules, hyperstatique d'ordre 1, voulu. Sa condition géométrique (même distance entre chemins sur le moyeu et dans la bague extérieure) est violée exprès d'une petite quantité ; l'effort interne qui en résulte supprime le jeu et rigidifie le guidage. On le néglige dans le calcul des charges dues au sol, mené sur le modèle isostatique (dit comme tel) ; l'effort axial extérieur va à la rangée dont les lignes de contact s'opposent à lui, modélisée par la rotule.

2) Les centres de poussée. La ligne de contact passe par le centre de la bille, à $r_{p}$ de l'axe, et fait l'angle $α$ avec le plan de la rangée : pour atteindre l'axe, elle parcourt $r_{p}$ radialement et $r_{p} tan α = 32 \times tan 3 5^{\circ} = 22, 4 mm$ axialement. En O, les décalages se font vers l'extérieur : $a_{O} = s + 2 r_{p} tan α = 36 + 44, 8 = 80, 8 mm;$ en X, vers l'intérieur : $a_{X} = 36 - 44, 8 = - 8, 8 mm$ : les centres de poussée se sont croisés.

3) Équilibre de la roue et du moyeu. Actions extérieures : le sol en $I$ ( $F_{z}$ vers le haut, $F_{y}$ vers le véhicule) ; les rangées, glisseurs passant par $C_{1}$ (côté véhicule) et $C_{2}$ , de composantes radiales $F_{r 1}$ , $F_{r 2}$ (comptées vers le bas sur le moyeu) et d'une composante axiale portée par une seule rangée. Principe fondamental de la statique au centre $O$ du moyeu, milieu de $C_{1} C_{2}$ , dans le plan de la roue :

résultante verticale : $F_{r 1} + F_{r 2} = F_{z}$ ; résultante axiale : une rangée porte $F_{y} = 3, 5 kN$ ;
moment autour de l'horizontale perpendiculaire à l'axe : $F_{y}$ , à la distance $R$ sous l'axe, donne $M = F_{y} R$ ; $F_{z}$ passe par $O$ ; les composantes axiales sont sur l'axe ; les radiales, aux bras $\pm a /2$ , équilibrent : $(F_{r 1} - F_{r 2}) \frac{a}{2} = F_{y} R$ .

D'où les formules demandées. Avec $M = 3500 \times 0, 30 = 1050 N \cdot m$ et $a_{O} = 0, 0808 m$ : $F_{r 1} = 2900 + \frac{1 050}{0 , 0808} = 2900 + 12990 = 15900 N, F_{r 2} = - 10100 N .$ Le signe moins dit que la rangée 2 est chargée du côté opposé : elle porte sur toute sa circonférence. Rangée la plus chargée : $15, 9 \leq 18 kN$ : conforme, marge $12 %$ . Le moment fait $82 %$ de cette charge : c'est l'effort latéral au sol, multiplié par le rayon de la roue, qui dimensionne.

4) En X. $∣ a_{X} ∣ = 8, 8 mm$ : $F_{r 1} = 2900 + \frac{1 050}{0 , 00881} = 122000 N$ : non conforme, facteur $6, 8$ . Cas limite : $a_{X} = 0$ pour $tan α = \frac{s}{2 r _{p}} = 0, 5625$ , $α = 29, 4^{\circ}$ ; les deux rotules ont le même centre, la liaison équivalente est une rotule : aucune charge finie ne reprend le moment. Le montage en X convient aux guidages peu soumis au basculement, et tolère mieux un défaut d'alignement, justement parce qu'il se rapproche d'une rotule.

5) Le contact radial. $α = 0$ : $a = s = 36 mm$ et $F_{r 1} = 2900 + \frac{1 050}{0 , 036} = 32100 N$ : non conforme. Il faudrait $\frac{1 050}{a} \leq 15100 N$ , soit $a \geq 69, 5 mm$ : un moyeu presque deux fois plus large. Le montage en O gagne $45 mm$ d'écartement sans un gramme de matière, par l'inclinaison des lignes de contact.

6) Conclusion.

architecture	écartement $a$	charge maximale	exigence
oblique en O	$80, 8 mm$	$15, 9 kN$	conforme ( $12 %$ )
oblique en X	$8, 8 mm$	$122 kN$	non conforme
radial	$36 mm$	$32, 1 kN$	non conforme

En ligne droite, chaque rangée porte $4, 1/2 = 2, 05 kN$ , près de huit fois moins : c'est le virage qui dimensionne. Les cartouches ferroviaires répondent au même problème : en courbe, l'effort transversal du rail, appliqué loin de l'axe, crée un moment de renversement sur la fusée, et deux rangées de rouleaux coniques en O lui opposent l'écartement de leurs centres de poussée. Partout où un effort s'applique loin de l'axe (roue, broche en porte-à-faux), on cherche la rigidité au basculement, et le montage en O la donne.

Le résultat obtenu — guidage en rotation par deux rangées : liaisons en parallèle aux centres de poussée, et montage en O. Un guidage par deux rangées d'éléments roulants à contact oblique se modélise par deux liaisons en parallèle, une rotule et une linéaire annulaire, placées aux centres de poussée, points où les lignes de contact coupent l'axe ; leur association équivaut à une liaison pivot isostatique (deux rotules préchargées en donnent le modèle hyperstatique d'ordre 1). Chaque centre de poussée est décalé de $r_{p} tan α$ du plan de sa rangée ; l'écartement utile vaut $s + 2 r_{p} tan α$ en O et $s - 2 r_{p} tan α$ en X. Sous un moment de renversement $M$ , les charges radiales valent $\frac{F}{2} \pm \frac{M}{a}$ : c'est $a$ , non l'écartement $s$ des rangées, qui dimensionne. Pour le moyeu : $15, 9 kN$ en O pour $18$ admis, $122 kN$ en X.

Ce que le problème installe. Un roulement à deux rangées est une association de deux liaisons en parallèle, placées là où passent réellement les efforts : aux centres de poussée. Le principe fondamental de la statique fait du bras de levier entre les liaisons la grandeur qui dimensionne sous moment de renversement ; « en O pour la rigidité au basculement » devient un calcul. Le choix du modèle (isostatique pour les charges extérieures, hyperstatique préchargé pour le comportement réel) se dit et se justifie.

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