sciences industrielles (PTSI) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Table élévatrice : vis trapézoïdale ou vis à billes, la charge tient-elle seule ?

Conception Mécanique et Solutions Technologiques des Liaisons · B. Guidage en translation et vis à billes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une table élévatrice est levée par deux vis verticales ; chaque écrou, lié à la table, porte $F = 5 kN$ ; vitesse de levée $50 mm/s$ . Exigence : moteur coupé, la table reste immobile en toute circonstance ; un éventuel frein a un couple au moins double de celui que la charge exerce sur la vis.

Solution A : vis trapézoïdale Tr 24×5 (pas $p = 5 mm$ , diamètre moyen $d_{2} = 21, 5 mm$ ), écrou en bronze ; frottement acier sur bronze graissé (données) : $f = 0, 12$ au démarrage, $0, 08$ en mouvement, $0, 06$ seulement si la lubrification est très bonne et que la table vibre. Solution B : vis à billes de pas $10 mm$ ; rendements donnés : direct $η = 0, 90$ , inverse $η^{'} = 0, 85$ .

Modèle de la solution A : filet carré équivalent, contact ramené au rayon moyen $r = d_{2} /2$ . Développé sur un tour, le filet est un plan incliné d'angle $β$ , $tan β = \frac{p}{π d _{2}}$ ; un couple $C$ sur la vis équivaut à un effort tangentiel $Q = C / r$ .

1) Loi entrée-sortie du système vis-écrou ; vitesse de rotation de chaque vis.

2) Solution A. Isoler l'écrou ; en montée, à la limite du glissement, établir $C = F r tan (β + φ)$ . Moteur coupé ( $Q = 0$ ), montrer par le cône de frottement que la charge reste immobile si et seulement si $β \leq φ$ .

3) Calculer $β$ et $φ$ pour les trois valeurs de $f$ ; conclure sur l'immobilité. Dans le cas défavorable, quel couple la charge exerce-t-elle sur la vis ?

4) Couple de montée au démarrage et en mouvement. On donne le rendement $η = \frac{tan β}{tan ( β + φ )}$ : le calculer pour les trois valeurs de $f$ , et montrer que $β < φ$ entraîne $η < \frac{1}{2}$ .

5) Solution B : vitesse, couple de montée $\frac{F p}{2 π η}$ et couple renvoyé par la charge $\frac{F p η ^{'}}{2 π}$ (formules données). Dimensionner le frein ; conclure pour A et pour B.

Corrigé

La stratégie. La réversibilité n'est pas une propriété de la vis, c'est le résultat d'un équilibre avec frottement. On l'établit sur le filet développé par le principe fondamental de la statique et le cône de frottement, puis on balaie les valeurs de $f$ que la machine rencontrera.

1) Loi entrée-sortie. Un tour fait avancer l'écrou d'un pas : $v = p \frac{N}{60}$ . A : $N = \frac{60 \times 50}{5} = 600 tr/min$ ; B : $300 tr/min$ .

2) Le plan incliné. L'écrou subit $F$ (vertical), $Q$ (horizontal) et l'action $R$ du filet. En montée, $R$ est inclinée de $φ$ sur la normale, du côté opposé au mouvement ; la normale fait l'angle $β$ avec la verticale, donc $R$ fait $β + φ$ avec la verticale. L'équilibre des trois forces donne $Q = F tan (β + φ)$ , soit $C = F r tan (β + φ)$ . Moteur coupé, $Q = 0$ : l'équilibre exige $R$ verticale, donc la verticale, à l'angle $β$ de la normale, doit être dans le cône de frottement : $β \leq φ$ . Sinon, rien n'équilibre la charge : l'écrou descend en faisant tourner la vis, le système est réversible.

3) Les trois frottements. $tan β = \frac{5}{π \times 21 , 5} = 0, 0740$ , $β = 4, 2 3^{\circ}$ .

situation	$f$	$φ$	comparaison	moteur coupé
démarrage	$0, 12$	$6, 8 4^{\circ}$	$β < φ$	immobile
en mouvement	$0, 08$	$4, 5 7^{\circ}$	$β < φ$ , de justesse	immobile
lubrification parfaite, vibrations	$0, 06$	$3, 4 3^{\circ}$	$β > φ$	descend

Dans le dernier cas, la charge exerce sur la vis $F r tan (β - φ) = 5000 \times 0, 01075 \times tan 0, 8 0^{\circ} = 0, 75 N \cdot m$ : petit, mais rien ne s'y oppose, la table dérive. Une vis trapézoïdale n'est irréversible que tant que $f$ reste au-dessus de $tan β = 0, 074$ : solution A sans frein non conforme.

En vert, le cône de frottement autour de la normale $n$ ; en rouge, la verticale (angles multipliés par trois) : elle sort du cône dans le troisième cas.

4) Couples et rendement. Couple de montée par vis : $5000 \times 0, 01075 \times tan 11, 0 7^{\circ} = 10, 5 N \cdot m$ au démarrage, $8, 3 N \cdot m$ en mouvement ; sans frottement, $F r tan β = 4, 0 N \cdot m$ . Rendement : $0, 38$ , $0, 48$ , $0, 55$ pour $f = 0, 12$ , $0, 08$ , $0, 06$ . Si $β < φ$ , $tan (β + φ) > tan 2 β$ et $η < \frac{tan β}{tan 2 β} = \frac{1 - tan ^{2} β}{2} < \frac{1}{2} :$ une vis irréversible perd plus de la moitié de la puissance en frottement ; les nombres le confirment ( $0, 48$ contre $0, 55$ ).

5) Solution B. $300 tr/min$ ; couple de montée $\frac{5 000 \times 0 , 010}{2 π \times 0 , 90} = 8, 8 N \cdot m$ ; couple renvoyé par la charge $\frac{5 000 \times 0 , 010 \times 0 , 85}{2 π} = 6, 8 N \cdot m$ : franchement réversible. Frein : $13, 5 N \cdot m$ par vis ; la tenue ne dépend plus du frottement : conforme en toute circonstance. Pour A, l'exigence impose aussi un frein, dimensionné sur $2 \times 0, 75 = 1, 5 N \cdot m$ : la « sécurité » d'une vis trapézoïdale ne dispense pas du frein quand l'exigence dit « en toute circonstance ». A coûte un rendement inférieur à $0, 5$ ; B, un frein plus gros.

Ce que l'exercice installe. La condition d'irréversibilité d'un système vis-écrou, $β \leq φ$ , s'établit par le cône de frottement sur le filet développé ; elle dépend du frottement, donc de la lubrification et des vibrations, et se vérifie pour la plus petite valeur de $f$ rencontrée. Irréversible entraîne rendement inférieur à $\frac{1}{2}$ . Une vis réversible se tient par un frein dimensionné sur le couple que renvoie la charge.

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