Le seuil de l'immunité collective

Le seuil de l'immunité collective. Pour une maladie contagieuse, on note $R_0$ le nombre moyen de personnes qu'un malade contamine dans une population où personne n'est immunisé. On admet que la transmission s'effondre lorsque la proportion d'individus immunisés dépasse le seuil $p=1-\frac{1}{R_0}$. Pour la rougeole, $R_0$ vaut environ $15$ ; pour une grippe saisonnière, environ $1,5$ (valeurs approchées).

1. Calculer le seuil d'immunité collective pour chacune des deux maladies. Comparer et relier au cours.

2. Un vaccin contre la rougeole immunise $95\%$ des personnes vaccinées. Quelle proportion de la population faut-il vacciner pour atteindre le seuil ?

3. Certaines personnes ne peuvent pas être vaccinées (nourrissons trop jeunes, personnes dont le système immunitaire est affaibli). Expliquer comment la vaccination des autres les protège.