L'élimination d'un allèle récessif létal

L'élimination d'un allèle récessif létal. Un allèle $a$ est récessif et létal : les individus $aa$ meurent avant de se reproduire, tandis que les $AA$ et les $Aa$ se reproduisent normalement. On suppose que, parmi les nouveau-nés de chaque génération, les génotypes sont aux proportions de Hardy-Weinberg ($p^2$, $2pq$, $q^2$, avec $p=1-q$), et que seule cette sélection intervient.

1. Montrer que, si $q$ est la fréquence de $a$ chez les nouveau-nés d'une génération, sa fréquence $q^{\prime }$ chez les reproducteurs (donc chez les nouveau-nés de la génération suivante) vaut :

$$q^{\prime }=\frac{q}{1+q}.$$

2. Partant de $q_0=0,5$, calculer $q$ sur les trois générations suivantes. Combien de générations faut-il pour passer de $0,25$ à $0,125$ ? (On admettra que $q_n=\frac{1}{2+n}$.)

3. Lorsque $q=0,1$, comparer le nombre d'allèles $a$ portés par les hétérozygotes à celui porté par les homozygotes $aa$. En déduire pourquoi la sélection ne parvient pratiquement jamais à éliminer complètement un allèle récessif.