Bilan avec source de désintégration

Pendant $\mathrm{d}t$, la tranche $[x,x+\mathrm{d}x]$ de section $S$, qui contient $nS\mathrm{d}x$ noyaux, en perd $\lambda nS\mathrm{d}x\mathrm{d}t$ par désintégration : c'est un puits, $\sigma =-\lambda n$. Le bilan local $\frac{\partial n}{\partial t}=-\frac{\partial j_N}{\partial x}+\sigma$ et la loi de Fick $j_N=-D\frac{\partial n}{\partial x}$ donnent

$$\frac{\partial n}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}n}{\partial x^2}-\lambda n.$$

C'est une équation de réaction-diffusion : compétition entre l'étalement diffusif et la disparition exponentielle. Les deux termes de droite ont la même importance sur la longueur $\delta =\sqrt{D/\lambda }$, distance que parcourt un noyau par diffusion pendant sa durée de vie $1/\lambda$. ∎