thermodynamique 2 : diffusion et rayonnement (PC) · Chapitre 2 · Application directe du cours

Évaporation d'une gouttelette : la loi en $d^{2}$ et la courbe de Wells

Diffusion de particules · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une gouttelette d'eau sphérique de rayon $a (t)$ (diamètre $d = 2 a$ ) s'évapore dans de l'air immobile à $20° C$ , d'humidité relative $50 %$ . La vapeur diffuse dans l'air avec $D = 2.5 \times 1 0^{- 5} m^{2} . s^{- 1}$ . Au contact de la goutte, la vapeur a la concentration massique de saturation $ρ_{s} = 1.73 \times 1 0^{- 2} k g . m^{- 3}$ ( $2.34 k P a$ à $20° C$ ) ; loin d'elle, $ρ_{\infty} = ρ_{s} /2$ . Masse volumique de l'eau liquide $ρ_{ℓ} = 998 k g . m^{- 3}$ .

On admet le régime quasi stationnaire autour de la goutte. Exprimer le débit massique de vapeur $Φ_{m}$ qui la quitte (on pourra utiliser l'exercice sur la diffusion stationnaire à symétrie sphérique), puis établir que $d^{2} = d_{0}^{2} - K t$ et exprimer $K$ . Durée de vie d'une gouttelette de $100 μ m$ ? Justifier le régime quasi stationnaire.
La goutte tombe en même temps : sa vitesse limite (loi de Stokes, admise) vaut $v = C d^{2}$ avec $C = ρ_{ℓ} g / (18 η) = 3.0 \times 1 0^{7} m^{- 1} . s^{- 1}$ ( $η = 1.81 \times 1 0^{- 5} P a . s$ pour l'air). Une gouttelette émise à $H = 2 m$ du sol (un adulte qui tousse) s'évapore-t-elle avant de toucher le sol ? Déterminer le diamètre initial critique $d^{*}$ .
L'évaporation refroidit la goutte, qui se met à la température du thermomètre mouillé, $13.8° C$ : la concentration de saturation à son contact tombe à $ρ_{s}^{'} = 1.19 \times 1 0^{- 2} k g . m^{- 3}$ . Que deviennent $K$ et $d^{*}$ ?

Corrigé

D'après le profil stationnaire autour d'une sphère, $ρ (r) = ρ_{\infty} + (ρ_{s} - ρ_{\infty}) a / r$ et le débit sortant vaut $Φ_{m} = 4 π a D (ρ_{s} - ρ_{\infty})$ . La goutte perd cette masse :

$\frac{d}{d t} (ρ_{ℓ} \frac{4}{3} π a^{3}) = - 4 π a D (ρ_{s} - ρ_{\infty}) ⟹ a \frac{d a}{d t} = - \frac{D ( ρ _{s} - ρ _{\infty} )}{ρ _{ℓ}} .$

Comme $a d a = \frac{1}{2} d (a^{2}) = \frac{1}{8} d (d^{2})$ , on obtient $d^{2} = d_{0}^{2} - K t$ avec

$K = \frac{8 D ( ρ _{s} - ρ _{\infty} )}{ρ _{ℓ}} = \frac{8 \times 2.5 \times 1 0 ^{- 5} \times 8.65 \times 1 0 ^{- 3}}{998} = 1.73 \times 1 0^{- 9} m^{2} . s^{- 1} .$

C'est la loi en $d^{2}$ : la surface de la goutte décroît linéairement avec le temps. Durée de vie : $t = d_{0}^{2} / K = (e - 4)^{2} /1.73 \times 1 0^{- 9} = 5.8 s$ pour $100 μ m$ , mais $0.06 s$ pour $10 μ m$ : les petites gouttes disparaissent presque instantanément. Le profil de vapeur s'établit en $a^{2} / D = (5 \times 1 0^{- 5})^{2} /2.5 \times 1 0^{- 5} = 1 0^{- 4} s$ , très court devant la durée de vie : le régime quasi stationnaire est justifié.

Pendant $d t$ , la goutte descend de $v d t = C (d_{0}^{2} - K t) d t$ . Jusqu'à sa disparition, à $t_{f} = d_{0}^{2} / K$ , elle descend de

$z = \int_{0}^{t_{f}} C (d_{0}^{2} - K t) d t = \frac{C d _{0}^{4}}{2 K} .$

Elle s'évapore avant le sol si $z < H$ , soit $d_{0} < d^{*} = (2 K H / C)^{1/4} = (2 \times 1.73 \times 1 0^{- 9} \times 2/3.0 \times 1 0^{7})^{1/4} = 123 μ m$ . Pour $100 μ m$ , la vitesse initiale vaut $0.30 m . s^{- 1}$ (nombre de Reynolds voisin de 2 : la loi de Stokes reste acceptable).

$K^{'} = 8 \times 2.5 \times 1 0^{- 5} \times (1.19 \times 1 0^{- 2} - 8.65 \times 1 0^{- 3}) /998 = 6.5 \times 1 0^{- 10} m^{2} . s^{- 1}$ : l'évaporation est presque trois fois plus lente ( $15 s$ pour $100 μ m$ ), et $d^{*} = 97 μ m$ .

C'est la courbe de Wells (1934) : les gouttelettes respiratoires de moins de $100 μ m$ environ s'évaporent en l'air et laissent des noyaux secs qui flottent (aérosols) ; les plus grosses tombent au sol en moins de deux mètres.

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