thermodynamique 2 : diffusion et rayonnement (PC) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Le radon du sol et l'air de la maison

Diffusion de particules · B. Bilan de particules · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le radon 222, gaz radioactif de période $T_{1/2} = 3, 82 j$ , naît dans le sol de la désintégration du radium 226. On modélise le sol par un milieu semi-infini homogène, $z ⩾ 0$ ( $z$ est la profondeur, la surface est en $z = 0$ ). On note $n (z, t)$ le nombre d'atomes de radon mobiles par $m^{3}$ de sol, $G$ le nombre d'atomes produits par $m^{3}$ de sol et par seconde (uniforme), et $λ = ln 2/ T_{1/2}$ la constante radioactive : un atome disparaît pendant $d t$ avec la probabilité $λ d t$ . Le radon diffuse dans l'air des pores avec le coefficient effectif $D = 2, 0 \times 1 0^{- 6} m^{2} s^{- 1}$ (porosité et tortuosité incluses), défini pour $n$ . En profondeur, l'activité du radon mobile vaut $A_{\infty} = λ n_{\infty} = 10 kBq$ par $m^{3}$ de sol. À la surface, la concentration de l'atmosphère est négligeable : $n (0) = 0$ .

1) Par un bilan sur une tranche de sol $[z, z + d z]$ de section $S$ , établir l'équation d'évolution de $n$ . Que vaut $n$ en profondeur ? Relier $G$ à $A_{\infty}$ .

2) En régime stationnaire, montrer que $n (z) = n_{\infty} (1 - e^{- z / δ})$ et exprimer $δ$ . Valeurs numériques de $λ$ et $δ$ . Sur quelle durée ce régime s'établit-il ?

3) Exprimer le flux d'atomes $J$ qui sort du sol par unité de surface, puis l'exhalaison $E = λ J$ , en $Bq m^{- 2} s^{- 1}$ (activité qui sort par unité de surface et de temps). Valeur numérique ; la moyenne mondiale est de l'ordre de $16 mBq m^{- 2} s^{- 1}$ . Interpréter $J$ en termes de production.

4) Une maison de volume $V = 250 m^{3}$ repose sur un sol nu d'aire $S = 100 m^{2}$ (cave en terre battue, sans dalle). Son air est uniforme ; il est renouvelé au taux $a$ (le volume $aV d t$ d'air intérieur est remplacé pendant $d t$ par de l'air extérieur sans radon). Par un bilan sur le nombre $N$ d'atomes de radon dans la maison, établir l'activité volumique $C$ de l'air intérieur en régime permanent. Valeurs pour $a = 0, 5 h^{- 1}$ (maison bien ventilée) et $a = 0, 1 h^{- 1}$ (maison calfeutrée l'hiver) ; le niveau de référence réglementaire est de $300 Bq m^{- 3}$ . Constante de temps ? L'hypothèse $n (0) = 0$ reste-t-elle juste sous la maison ?

5) Cas limites. Que se passe-t-il si le sol est couvert d'une dalle parfaitement étanche ? Si le sol, sec et fissuré, a un coefficient effectif dix fois plus grand ?

Corrigé

La stratégie. Une source et un puits dans le même bilan : la production l'emporte en profondeur, où elle équilibre la désintégration ; près de la surface, la diffusion évacue le radon. La compétition entre diffusion et désintégration fixe une longueur, $D / λ$ , construite comme le $D τ$ du cours avec la durée de vie $τ = 1/ λ$ . La maison, elle, est un réservoir homogène.

1) L'équation. Dans la tranche, $n S d z$ atomes. Pendant $d t$ : entrée $j (z) S d t$ , sortie $j (z + d z) S d t$ , production $G S d z d t$ , désintégrations $λn S d z d t$ . Avec la loi de Fick, $\frac{\partial n}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} n}{\partial z ^{2}} + G - λn .$ En profondeur, la surface ne se fait plus sentir : $n$ est uniforme et stationnaire, d'où $G = λ n_{\infty}$ : la production équilibre la désintégration, et $G = A_{\infty} = 1 0^{4} m^{- 3} s^{- 1}$ .

2) Le profil. En régime stationnaire, $D n^{''} - λ (n - n_{\infty}) = 0$ : $n - n_{\infty}$ est une combinaison de $e^{z / δ}$ et $e^{- z / δ}$ avec $δ = D / λ$ . La première diverge en profondeur, ce qui est exclu ; la condition $n (0) = 0$ fixe la seconde : $n (z) = n_{\infty} (1 - e^{- z / δ}),$ avec $λ = \frac{ln 2}{3 , 82 \times 86 400} = 2, 10 \times 1 0^{- 6} s^{- 1}$ et $δ = \frac{2 , 0 \times 1 0 ^{- 6}}{2 , 10 \times 1 0 ^{- 6}} = 0, 98 m$ . Ce régime s'établit en quelques $1/ λ = δ^{2} / D = 5, 5 j$ ; c'est un profil moyen.

3) L'exhalaison. Le flux, compté selon $+ e_{z}$ , vaut $j = - D n^{'} (z) = - \frac{D n _{\infty}}{δ} e^{- z / δ}$ : négatif, il remonte. Il sort du sol $J = \frac{D n _{\infty}}{δ} = n_{\infty} D λ,$ $E = λ J = A_{\infty} D λ = 1 0^{4} \times 2, 0 \times 1 0^{- 6} \times 2, 10 \times 1 0^{- 6} = 2, 0 \times 1 0^{- 2} Bq m^{- 2} s^{- 1},$ soit $20 mBq m^{- 2} s^{- 1}$ , l'ordre de grandeur de la moyenne mondiale. Comme $J = D n_{\infty} / δ = G δ$ : il sort autant d'atomes qu'en produit la couche superficielle d'épaisseur $δ$ ; ceux qui naissent plus profond se désintègrent avant d'avoir parcouru $δ$ .

4) La maison. $N$ varie par l'entrée $J S$ , l'évacuation $a N$ (chaque seconde, la fraction $a$ de l'air, donc de son radon, est remplacée) et la désintégration $λ N$ : $\frac{d N}{d t} = J S - (a + λ) N ⟹ C = \frac{λ N}{V} = \frac{E S}{V ( a + λ )} en r e ˊ gime permanent .$ Avec $a = 0, 5 h^{- 1} = 1, 39 \times 1 0^{- 4} s^{- 1}$ ( $λ$ n'en est que $1, 5 %$ ) : $C = \frac{2 , 05 \times 1 0 ^{- 2} \times 100}{250 \times 1 , 41 \times 1 0 ^{- 4}} = 58 Bq m^{- 3}$ . Avec $a = 0, 1 h^{- 1}$ : $C = 274 Bq m^{- 3}$ , tout près du niveau de référence, atteint pour $a = 0, 09 h^{- 1}$ . La constante de temps $1/ (a + λ)$ vaut $2, 0 h$ (et $9, 3 h$ ) : c'est la ventilation qui règle tout, la désintégration ne compte presque pas. L'hypothèse $n (0) = 0$ demande que l'air de la maison soit pauvre en radon devant celui du sol : $274 Bq m^{- 3}$ contre $1 0^{4} Bq$ par $m^{3}$ de sol, et davantage encore par $m^{3}$ d'air des pores : elle tient.

5) Cas limites. Une dalle étanche impose un flux nul en $z = 0$ : la solution est alors $n = n_{\infty}$ partout, il ne sort rien, et tout le radon produit se désintègre dans le sol. Un sol sec et fissuré, avec $D$ dix fois plus grand, a $δ = 3, 1 m$ et une exhalaison $10 = 3, 2$ fois plus forte : la maison calfeutrée dépasse $800 Bq m^{- 3}$ . Le modèle omet un transport souvent dominant : une maison chauffée, en légère dépression, aspire l'air du sol par les fissures.

Ce que l'exercice installe. Le bilan local avec une source et un puits ; la longueur $δ = D / λ$ qui naît de leur compétition, et la lecture d'un flux de surface comme la production d'une couche d'épaisseur $δ$ ; puis le bilan d'un volume homogène renouvelé, et la vérification après coup d'une condition aux limites supposée.

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