Gelée blanche par nuit claire : rayonnement contre convection

La stratégie. La tôle perd de l'énergie par rayonnement vers un ciel plus froid qu'elle, et en reçoit de l'air par convection dès qu'elle est plus froide que lui ; elle s'équilibre entre les deux. Le coefficient radiatif $h_r$ permet de comparer les deux échanges avec la même unité.

1) Le coefficient radiatif. Avec $T=T_0+\Delta T$ et $|\Delta T|\ll T_0$ : $T^4=T_0^4{\left(1+\Delta T/T_0\right)}^4\approx T_0^4+4T_0^3\Delta T$, d'où $\epsilon \sigma \left(T^4-T_0^4\right)\approx 4\epsilon \sigma T_0^3(T-T_0)$. À $T_0=277,15\mathrm{K}$ : $h_r=4\times 0,95\times 5,67\times 10^{-8}\times 277,15^3=4,6\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{K}}^{-1}$ ; pour un corps noir à $300\mathrm{K}$, $h_r=4\sigma \times 300^3=6,1\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{K}}^{-1}$. À température ordinaire, le rayonnement échange autant que la convection naturelle ($h\approx 5$) ; il ne devient négligeable que devant une convection forcée vigoureuse. (Ce $h_r$ croît comme $T^3$ : aux températures d'un four, le rayonnement l'emporte.)

2) La perte à la température de l'air. Ciel clair : $0,95\times 5,67\times 10^{-8}\times \left(277,15^4-255^4\right)=90\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ ; ciel couvert : $23\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$. À $T=T_{\text{air}}$ la convection est nulle, mais pas le rayonnement : la tôle perd de l'énergie vers un ciel plus froid que l'air (une partie de l'infrarouge s'échappe vers l'espace, et l'atmosphère rayonne surtout depuis ses couches élevées et froides). Elle se refroidit donc sous l'air, jusqu'à ce que la convection, qui lui apporte $h(T_{\text{air}}-T)$, compense.

3) Les équilibres. Régime stationnaire : $\epsilon \sigma \left(T^4-T_{\text{ciel}}^4\right)=h(T_{\text{air}}-T)$. Linéarisé autour de $T_{\text{air}}$ : ${\Phi }_0+h_r(T-T_{\text{air}})=h(T_{\text{air}}-T)$, où ${\Phi }_0$ est la perte calculée en 2), d'où $$T-T_{\text{air}}=-\frac{{\Phi }_0}{h+h_r}.$$

• Ciel clair, air calme : $T-T_{\text{air}}=-\frac{90}{5+4,6}=-9,4\mathrm{K}$, soit $-5,4{}^{\circ }\mathrm{C}$ ; la résolution numérique de l'équation exacte donne $-5,6{}^{\circ }\mathrm{C}$ : givre.
• Ciel clair, vent ($h=20$) : $-\frac{90}{24,6}=-3,7\mathrm{K}$, $+0,3{}^{\circ }\mathrm{C}$ : pas de givre.
• Ciel couvert, air calme : $-\frac{23}{9,6}=-2,4\mathrm{K}$, $+1,6{}^{\circ }\mathrm{C}$ : pas de givre.

La linéarisation se trompe de $0,2\mathrm{K}$ pour un écart de $10\mathrm{K}$ : elle suffit. La tôle est à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ par ciel clair pour $h=\frac{\epsilon \sigma \left(273,15^4-255^4\right)}{4}=18\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{K}}^{-1}$ : il suffit d'une légère brise pour empêcher le givre. C'est le dicton des jardiniers : les nuits de gelée sont claires et calmes. Le givre se forme sur les toits, les pare-brise et l'herbe alors que l'air reste au-dessus de zéro.

4) Les hypothèses. Face inférieure isolée : en réalité l'habitacle, plus chaud, réchauffe la tôle par sa face inférieure ; l'écart à l'air serait plus faible (c'est pourquoi le givre apparaît d'abord sur le pare-brise et l'herbe, mal reliés à une source chaude). Régime stationnaire : une tôle mince, de faible capacité thermique, suit les conditions en quelques minutes. Changement d'état : en dessous du point de rosée de l'air, la vapeur d'eau se condense sur la tôle (rosée, puis givre) ; cette condensation libère de l'énergie (enthalpie de changement d'état) et freine le refroidissement : le modèle surestime un peu le froid.

Ce que l'exercice installe. Le bilan radiatif d'une surface couplé à la loi de Newton. Le coefficient radiatif $h_r=4\epsilon \sigma T^3$, de l'ordre de $5\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{K}}^{-1}$ à température ordinaire, comparable à la convection naturelle. Une surface qui « voit » un ciel plus froid que l'air descend sous la température de l'air, d'autant plus que l'air est calme et le ciel clair. La linéarisation donne l'écart en une ligne.