Mesurer sans toucher : caméra thermique, pyromètre, émissivité et reflets

La stratégie. L'appareil ne mesure pas une température : il mesure un flux, somme de ce que la surface émet et de ce qu'elle réfléchit, et le convertit en température avec les paramètres qu'on lui donne. Toute erreur sur ${\epsilon }_c$ ou sur ce que la surface réfléchit devient une erreur de température.

1) La formule de l'appareil, et la peau. En égalant les deux expressions de $\Phi$ avec $T_{\text{env},c}=T_{\text{env}}$ : $${\epsilon }_c{T}_{\text{aff}}^4=\epsilon T^4+(1-\epsilon )T_{\text{env}}^4-(1-{\epsilon }_c)T_{\text{env}}^4=\epsilon \left(T^4-T_{\text{env}}^4\right)+{\epsilon }_c{T}_{\text{env}}^4,$$ d'où la formule annoncée. Si ${\epsilon }_c=\epsilon$, $T_{\text{aff}}=T$ : la mesure est juste. Sinon, l'écart à l'environnement est multiplié par $\epsilon /{\epsilon }_c$ (à la puissance quatrième près). Pour la peau : $T_{\text{aff}}^4=293,15^4+\frac{0,98}{0,95}\left(308,15^4-293,15^4\right)$, soit $T_{\text{aff}}=308,6\mathrm{K}=35,4{}^{\circ }\mathrm{C}$, à $0,4{}^{\circ }\mathrm{C}$ près : la peau est presque noire dans l'infrarouge, et un réglage approché suffit.

2) La casserole « froide ». $\epsilon /{\epsilon }_c=0,10/0,95=0,105$ : $T_{\text{aff}}^4=293,15^4+0,105\times \left(353,15^4-293,15^4\right)$, $T_{\text{aff}}=301,3\mathrm{K}=28{}^{\circ }\mathrm{C}$ pour une casserole à $80{}^{\circ }\mathrm{C}$. L'inox poli émet peu (il émet comme il absorbe) et réfléchit $90\%$ de la cuisine à $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ : la caméra voit surtout la cuisine. On se brûlerait en se fiant à l'image.

3) Le ruban adhésif. Avec $\epsilon ={\epsilon }_c=0,95$, $T_{\text{aff}}=80,0{}^{\circ }\mathrm{C}$ : mesure juste. Si l'émissivité réelle est $0,93$, $\epsilon /{\epsilon }_c=0,979$ et $T_{\text{aff}}=79,0{}^{\circ }\mathrm{C}$ : une erreur de $0,02$ sur une émissivité voisine de 1 coûte $1{}^{\circ }\mathrm{C}$, alors qu'elle était fatale sur l'inox. D'où la pratique des thermographes : on rend noire la surface à mesurer (ruban, peinture mate) plutôt que de chercher son émissivité.

4) Le reflet. Le flux reçu est $\Phi /\sigma =0,10\times 353,15^4+0,90\times 307,15^4$, l'appareil retranche $0,90\times 293,15^4$ et divise par $0,10$ : $$T_{\text{aff}}^4=353,15^4+\frac{0,90}{0,10}\left(307,15^4-293,15^4\right),$$ soit $T_{\text{aff}}=413\mathrm{K}=140{}^{\circ }\mathrm{C}$. L'opérateur, plus chaud de $14{}^{\circ }\mathrm{C}$ que l'environnement réglé, voit son excès multiplié par $(1-{\epsilon }_c)/{\epsilon }_c=9$ : sur une surface peu émissive, la caméra montre surtout ce qui s'y reflète, et corriger l'émissivité aggrave l'erreur de reflet. La figure trace la température affichée pour la casserole (sans opérateur) en fonction de l'émissivité réglée : juste en ${\epsilon }_c=0,10$ seulement, et proche de l'ambiance pour tout réglage « courant ».

5) Le pyromètre. Avec ${\epsilon }_c=1$ : $T_{\text{app}}^4=\epsilon T^4+(1-\epsilon )T_{\text{env}}^4$. Ici ${\left(T_{\text{env}}/T\right)}^4=(300/1473{)}^4=1,7\times 10^{-3}$ : le terme réfléchi est négligeable et $T_{\text{app}}\approx {\epsilon }^{1/4}T=0,80^{1/4}\times 1473=1393\mathrm{K}$, soit 80 K de moins que la vraie température (le calcul complet donne $1393,4\mathrm{K}$ : l'atelier ne compte plus). À haute température, les reflets disparaissent ; seule l'émissivité fausse la mesure, l'erreur relative $\Delta T/T\approx \frac{1}{4}\Delta \epsilon /\epsilon$ étant atténuée par la racine quatrième. Un corps gris a un spectre proportionnel à celui du corps noir : même ${\lambda }_{\max }$ ($2,0\mu \mathrm{m}$ ici). Le rapport des flux reçus à deux longueurs d'onde ne dépend donc pas de $\epsilon$ : c'est l'idée des pyromètres « à deux couleurs ».

Ce que l'exercice installe. Un capteur infrarouge mesure un flux, émis plus réfléchi : $\Phi =\epsilon \sigma T^4+(1-\epsilon )\sigma T_{\text{env}}^4$. La température affichée dépend de l'émissivité réglée par le facteur $\epsilon /{\epsilon }_c$ ; une surface peu émissive est un miroir dans l'infrarouge. On mesure sur une surface rendue noire ; à haute température, l'erreur d'émissivité est atténuée par la racine quatrième, et la forme du spectre, indépendante de $\epsilon$, donne une mesure sans émissivité.