Peindre un satellite : absorber le Soleil, émettre l'infrarouge

La stratégie. Bilan radiatif d'un corps éclairé : puissance absorbée, proportionnelle à $a_S$ et à la section offerte au Soleil, contre puissance émise, proportionnelle à $\epsilon$ et à la surface qui rayonne. Les deux facteurs portent sur deux domaines de longueurs d'onde distincts, que la loi de Wien sépare.

1) Deux domaines. Soleil : ${\lambda }_{\max }=2900/5800=0,50\mu \mathrm{m}$ (visible) ; objet à $300\mathrm{K}$ : $9,7\mu \mathrm{m}$ (infrarouge). Un facteur 20 sépare les maxima : les deux spectres se recouvrent à peine. La loi de Kirchhoff vaut longueur d'onde par longueur d'onde : $a_S$ est le facteur d'absorption vers $0,5\mu \mathrm{m}$, $\epsilon$ celui vers $10\mu \mathrm{m}$. Un matériau peut être sombre dans le visible et réfléchissant dans l'infrarouge (noir sélectif), ou l'inverse (peinture blanche, presque noire dans l'infrarouge).

2) Plaque et sphère. Plaque d'aire $S$ face au Soleil : elle absorbe $a_S{\phi }_{S}S$ et émet $\epsilon \sigma T^{4}S$ par sa seule face éclairée ; à l'équilibre, $$T_{\text{plaque}}={\left(\frac{a_S{\phi }_S}{\epsilon \sigma }\right)}^{1/4}.$$ Sphère de rayon $R$ : elle intercepte le flux sur sa section $\pi R^2$ et rayonne par sa surface $4\pi R^2$ : $$a_S{\phi }_S\pi R^2=\epsilon \sigma T^{4}4\pi R^2⟹T_{\text{spheˋre}}={\left(\frac{a_S{\phi }_S}{4\epsilon \sigma }\right)}^{1/4}=\frac{T_{\text{plaque}}}{\sqrt{2}}.$$ Dans les deux cas, $a_S$ et $\epsilon$ n'interviennent que par leur rapport.

3) Les revêtements. Avec ${\phi }_S/\sigma =2,40\times 10^{10}{\mathrm{K}}^4$ :

L'aluminium poli, qui réfléchit $85\%$ du Soleil, est plus chaud que la peinture noire : il absorbe peu, mais il émet encore moins. La peinture blanche est la plus froide. Une sphère grise, $a_S=\epsilon$ : $T={\left({\phi }_S/4\sigma \right)}^{1/4}=278\mathrm{K}$ ($5{}^{\circ }\mathrm{C}$), quel que soit le gris ; c'est, à l'albédo près, la température d'équilibre d'une planète à la distance de la Terre.

La bande verte ($0$ à $40{}^{\circ }\mathrm{C}$) est le domaine de fonctionnement de l'électronique : d'où les mosaïques de revêtements et les radiateurs des satellites réels.

4) Régler la température. Sphère à $293,15\mathrm{K}$ : $\frac{a_S}{\epsilon }=\frac{4\sigma T^4}{{\phi }_S}=\frac{4\times 5,67\times 10^{-8}\times 293,15^4}{1361}=1,23$, un peu plus que la peinture noire. Le flux varie en $1/d^2$ et la température comme ${\phi }^{1/4}$, donc comme $1/\sqrt{d}$ : la sphère noire ($282\mathrm{K}$ à $1\mathrm{ua}$) passe à $282/\sqrt{1,524}=228\mathrm{K}$ ($-45{}^{\circ }\mathrm{C}$) à la distance de Mars et à $282/\sqrt{0,723}=332\mathrm{K}$ ($+59{}^{\circ }\mathrm{C}$) à celle de Vénus. Une sonde interplanétaire doit changer de régime thermique en route.

5) Le capteur solaire. Plaque face au Soleil, dos isolé, $\phi =1000\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ : noir ordinaire $T={\left(\frac{0,95\times 1000}{0,90\sigma }\right)}^{1/4}=369\mathrm{K}$ ($96{}^{\circ }\mathrm{C}$) ; noir sélectif $T={\left(\frac{0,95\times 1000}{0,10\sigma }\right)}^{1/4}=640\mathrm{K}$ ($367{}^{\circ }\mathrm{C}$). Ces températures « de stagnation » sont des majorants (le fluide caloporteur emporte la chaleur), mais l'écart dit l'essentiel : à température de service égale, le noir sélectif perd beaucoup moins par rayonnement, et le capteur garde un bon rendement à haute température.

Ce que l'exercice installe. La température d'équilibre radiatif d'un corps éclairé : section qui reçoit contre surface qui émet (facteur 4 pour une sphère, $T\propto {\phi }^{1/4}\propto d^{-1/2}$). Deux domaines spectraux séparés par la loi de Wien, donc deux facteurs, $a_S$ pour le Soleil et $\epsilon$ pour l'infrarouge, dont seul le rapport compte. Un corps gris éclairé par le Soleil à $1\mathrm{ua}$ prend $278\mathrm{K}$, quelle que soit sa couleur.