Problème : le climat de la Terre dans un modèle à une couche, d'où viennent les 33 K

La stratégie. Séparer d'abord les deux rayonnements (Wien et la table), ce qui justifie les deux propriétés de la couche. Puis écrire des bilans de puissance surfacique, système par système, en régime stationnaire : chaque bilan donne une équation, et la conservation de l'énergie rend l'un d'eux redondant.

1) Deux rayonnements. Wien : Soleil ${\lambda }_{\max }=2900/5772=0,502\mu \mathrm{m}$ ; sol à $288\mathrm{K}$ : $10,1\mu \mathrm{m}$. Table, pour $\lambda =4\mu \mathrm{m}$ : Soleil, $x=4\times 5772=23088\mu \mathrm{m}\mathrm{K}$, $F=0,986+0,309\times 0,009=0,989$ : 98,9 % de l'émission solaire est au-dessous de $4\mu \mathrm{m}$ ; sol, $x=4\times 288=1152$, $F=0,0003+0,76\times 0,0018=0,0017$ : 0,17 % seulement. Les deux spectres sont pratiquement disjoints de part et d'autre de $4\mu \mathrm{m}$ ; on peut donc attribuer à l'atmosphère un comportement différent dans chaque domaine : peu absorbante dans le visible (l'air est transparent, on voit le Soleil), très absorbante dans l'infrarouge thermique (la vapeur d'eau et le dioxyde de carbone y ont de larges bandes d'absorption).

2) Sans atmosphère. La puissance émise par le Soleil, $4\pi R_{\odot }^2\sigma T_{\odot }^4$, traverse sans perte (le vide n'absorbe rien) toute sphère centrée sur lui ; à la distance $d$, elle se répartit sur $4\pi d^2$, d'où la décroissance en $1/d^2$ et $${\phi }_S=\sigma T_{\odot }^4{\left(\frac{R_{\odot }}{d}\right)}^2=5,67\times 10^{-8}\times 5772^4\times {\left(\frac{6,96\times 10^8}{1,496\times 10^{11}}\right)}^2=1362\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2},$$ en accord avec la valeur mesurée, $1361$. Flux absorbé moyen : ${\phi }_a=\frac{1}{4}\times 0,70\times 1361=238\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ (le facteur 4 rapporte la section $\pi R^2$ à la surface $4\pi R^2$). Équilibre $\sigma T_e^4={\phi }_a$ : $$T_e={\left(\frac{238,2}{5,67\times 10^{-8}}\right)}^{1/4}=254,6\mathrm{K}(-18,6{}^{\circ }\mathrm{C}).$$ Le flux sortant prévu est ${\phi }_a=238\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$, ce que mesurent les satellites ($\approx 240$) : vu de l'espace, la Terre est bien un corps noir à $255\mathrm{K}$. Mais la surface est à $288\mathrm{K}$ ($+15{}^{\circ }\mathrm{C}$) : $33\mathrm{K}$ d'écart.

3) Une couche opaque. Avec $\epsilon =1$, le sol n'envoie rien directement vers l'espace.

• Système entier, vu de l'espace : il reçoit ${\phi }_a$ et émet $\sigma T_a^4$ (la couche, vers le haut) : $\sigma T_a^4={\phi }_a$.
• Couche : elle absorbe $\sigma T_s^4$ et émet $2\sigma T_a^4$ (haut et bas) : $\sigma T_s^4=2\sigma T_a^4$.
• Sol : il reçoit ${\phi }_a+\sigma T_a^4$ et émet $\sigma T_s^4$ : ${\phi }_a+\sigma T_a^4=\sigma T_s^4$, conséquence des deux premiers (le système entier est la somme de la couche et du sol).

D'où $T_a=T_e=254,6\mathrm{K}$ et $T_s=2^{1/4}{T}_e=1,189\times 254,6=302,8\mathrm{K}$ ($+29,6{}^{\circ }\mathrm{C}$). Le sol reçoit ${\phi }_a=238\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ du Soleil et $\sigma T_a^4=238\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ de l'atmosphère : $476\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$, deux fois plus qu'en l'absence d'atmosphère. L'atmosphère ne « renvoie » pas le rayonnement du sol : elle l'absorbe et émet le sien, pour moitié vers le sol. Le modèle surestime la température de surface de $15\mathrm{K}$ : une atmosphère totalement opaque est trop absorbante.

4) Une couche semi-transparente. Les trois bilans deviennent :

• Système entier : ${\phi }_a=(1-\epsilon )\sigma T_s^4+\epsilon \sigma T_a^4$ ;
• Couche : $\epsilon \sigma T_s^4=2\epsilon \sigma T_a^4$, donc $T_a^4=\frac{T_s^4}{2}$, quel que soit $\epsilon$ (non nul) ;
• Sol : ${\phi }_a+\epsilon \sigma T_a^4=\sigma T_s^4$.

En reportant $T_a^4$ dans le bilan du sol : $\sigma T_s^4\left(1-\frac{\epsilon }{2}\right)={\phi }_a=\sigma T_e^4$, d'où $$T_s=T_e{\left(\frac{2}{2-\epsilon }\right)}^{1/4}.$$ Le bilan du système entier redonne la même chose : $(1-\epsilon )\sigma T_s^4+\frac{\epsilon }{2}\sigma T_s^4=\sigma T_s^4\left(1-\frac{\epsilon }{2}\right)$. Cas limites : $\epsilon =0$, $T_s=T_e$ (pas d'atmosphère absorbante) ; $\epsilon =1$, $T_s=2^{1/4}{T}_e$ (couche opaque). Entre les deux, $T_s$ croît avec $\epsilon$ sans que le flux solaire absorbé change. Ajustement : $1-\frac{\epsilon }{2}={\left(\frac{T_e}{T_s}\right)}^4={\left(\frac{254,6}{288}\right)}^4=0,611$, d'où $\epsilon =0,779$, et $T_a=2^{-1/4}\times 288=242\mathrm{K}$. Avec $\sigma T_s^4=390\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$, le flux sortant se décompose en $(1-\epsilon )\sigma T_s^4=86\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ venus directement du sol, à travers la « fenêtre » de transparence de l'atmosphère (vers 8 à 12 $\mu \mathrm{m}$), et $\epsilon \sigma T_a^4=152\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ émis par la couche : $238\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ au total, comme il se doit.

5) Doubler le dioxyde de carbone. À $T_s$ et $T_a$ fixées, le flux sortant $(1-\epsilon )\sigma T_s^4+\epsilon \sigma T_a^4$ varie de $$\Delta (\text{flux sortant})=\left(-\sigma T_s^4+\sigma T_a^4\right)\Delta \epsilon =-\frac{1}{2}\sigma T_s^4\Delta \epsilon :$$ la couche, plus froide que le sol, remplace une partie du rayonnement du sol par le sien, plus faible. Avec un forçage de $3,9\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ : $\Delta \epsilon =\frac{2\times 3,9}{390}=0,020$. La Terre reçoit alors plus qu'elle n'émet ; elle se réchauffe jusqu'au nouvel équilibre $T_s^{\prime }=T_e{\left(\frac{2}{2-0,779-0,020}\right)}^{1/4}=289,19\mathrm{K}$, soit $\Delta T_s=+1,2\mathrm{K}$. Au premier ordre, en différentiant $\ln T_s=\ln T_e+\frac{1}{4}\ln 2-\frac{1}{4}\ln (2-\epsilon )$ : $$\frac{\Delta T_s}{T_s}=\frac{1}{4}\frac{\Delta \epsilon }{2-\epsilon },\Delta T_s=\frac{288}{4}\times \frac{0,020}{1,221}=1,2\mathrm{K}.$$ C'est l'ordre de grandeur de la réponse sans rétroaction ; la sensibilité estimée ($\approx 3\mathrm{K}$) est environ 2,5 fois plus grande, parce que le réchauffement modifie lui-même $\epsilon$ et $A$ : une atmosphère plus chaude contient plus de vapeur d'eau (qui absorbe l'infrarouge), la fonte de la neige et de la glace abaisse l'albédo, les nuages changent. Le même forçage serait produit par une baisse d'albédo $\Delta A$ telle que $\frac{1}{4}{\phi }_S|\Delta A|=3,9\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$, soit $\Delta A=-0,011$ : un peu plus d'un centième d'albédo.

6) Limites. Couche isotherme : l'air réel est à $242\mathrm{K}$ vers $\frac{288-242}{6,5}=7\mathrm{km}$ d'altitude, d'où l'infrarouge s'échappe en moyenne vers l'espace. Mais l'atmosphère réelle n'est pas isotherme : elle rayonne vers l'espace depuis le haut, froid, et vers le sol depuis le bas, chaud ; le modèle envoie $152\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ vers le sol, on en mesure $\approx 340$. Convection : le sol perd $\approx 100\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ par convection et évaporation, que le modèle ignore ; les deux erreurs se compensent en partie dans $\epsilon$, paramètre effectif. Nuages : ils réfléchissent le Soleil et absorbent l'infrarouge. Absorption : elle dépend fortement de $\lambda$ (bandes de la vapeur d'eau et du dioxyde de carbone, fenêtre de 8 à 12 $\mu \mathrm{m}$). Ces limites n'enlèvent rien au mécanisme : un écran absorbant l'infrarouge, plus froid que le sol, abaisse le flux sortant et oblige la surface à se réchauffer pour le rétablir.

Le résultat établi — l'effet de serre dans le modèle à une couche. Une atmosphère transparente au rayonnement solaire et opaque à l'infrarouge, isotherme et sans convection, se trouve à la température d'équilibre radiatif $T_e={\left[{\phi }_S(1-A)/4\sigma \right]}^{1/4}$ et porte la surface à $T_s=2^{1/4}{T}_e\approx 1,19T_e$ ; si elle n'absorbe que la fraction $\epsilon$ de l'infrarouge, $T_s=T_e{\left(\frac{2}{2-\epsilon }\right)}^{1/4}$ et $T_a=2^{-1/4}{T}_s$ : la surface se réchauffe quand $\epsilon$ croît, sans que le flux solaire absorbé change. Pour la Terre : $T_e=255\mathrm{K}$, $303\mathrm{K}$ pour une couche opaque, $288\mathrm{K}$ pour $\epsilon =0,78$ ; un doublement du dioxyde de carbone, $+1,2\mathrm{K}$ sans rétroaction.

Ce que le problème installe. L'effet de serre est un bilan d'énergie : trois systèmes (la Terre vue de l'espace, la couche, le sol), trois bilans dont un redondant. Le facteur $2^{1/4}$ vient de ce que la couche émet dans les deux sens. Le flux sortant au sommet est imposé par le Soleil ; une atmosphère plus absorbante oblige la surface à être plus chaude pour l'évacuer. Un modèle simple, ajusté à la réalité ($\epsilon =0,78$), donne le bon ordre de grandeur de la réponse au dioxyde de carbone sans rétroaction, et ses limites disent où chercher le reste.