Toits blancs : l'albédo d'une surface au soleil — exercice corrigé de thermodynamique 2 : diffusion et rayonnement (PC) (chapitre 4)

Toits blancs : l'albédo d'une surface au soleil

Rayonnement thermique · niveau 2

Énoncé

Un toit-terrasse bien isolé (on néglige le flux transmis vers l'intérieur) reçoit à midi, en été, un flux solaire $φ = 900 W . m^{- 2}$ . Son revêtement renvoie la fraction $A$ de ce flux (son albédo) et émet dans l'infrarouge comme un corps gris d'émissivité $ε = 0, 9$ . Le ciel rayonne vers le toit comme un corps noir à $T_{c} = 290 K$ ; l'air est à $T_{air} = 30° C$ , et le toit reçoit de l'air le flux surfacique $h (T_{air} - T)$ avec $h = 10 W . m^{- 2} . K^{- 1}$ (loi de Newton). Écrire le bilan du toit en régime stationnaire et calculer sa température pour un bitume sombre ( $A = 0, 10$ ), puis pour une membrane blanche ( $A = 0, 70$ ). Conclure.

Corrigé

Par unité d'aire, le toit absorbe $(1 - A) φ$ du Soleil et $ε σ T_{c}^{4}$ du ciel, émet $ε σ T^{4}$ et reçoit $h (T_{air} - T)$ de l'air :

$(1 - A) φ = ε σ (T^{4} - T_{c}^{4}) + h (T - T_{air}) .$

Le membre de droite est une fonction croissante de $T$ : l'équation a une solution unique, qu'on trouve par dichotomie (ou à la calculatrice). Bitume, $A = 0, 10$ : $(1 - A) φ = 810 W . m^{- 2}$ , $T = 346.6 K$ , soit $73° C$ . Membrane blanche, $A = 0, 70$ : $(1 - A) φ = 270 W . m^{- 2}$ , $T = 315.6 K$ , soit $42° C$ . Vérification pour le bitume : $0, 9 \times 5, 67 \times 1 0^{- 8} \times (346, 6^{4} - 29 0^{4}) = 376 W . m^{- 2}$ et $10 \times (346, 6 - 303, 15) = 434 W . m^{- 2}$ , de somme $810 W . m^{- 2}$ . Une linéarisation autour de $T_{air}$ ( $h_{r} = 4 ε σ T_{air}^{3} = 5.7 W . m^{- 2} . K^{- 1}$ ) donnerait $77° C$ : pour un écart de $40 K$ , la non-linéarité de $T^{4}$ compte. Peindre le toit en blanc l'abaisse de $30 K$ environ ; à l'échelle d'une ville, les toitures et chaussées sombres contribuent à l'îlot de chaleur urbain, et les « toits frais » font partie des mesures qui le combattent. Remarque : le blanc convient parce que sa grande émissivité infrarouge ( $\approx 0, 9$ ) s'ajoute à son albédo élevé ; un métal poli, réfléchissant mais peu émissif, serait moins efficace.