thermodynamique 2 : diffusion et rayonnement (PC) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Une seule courbe pour toutes les températures : Wien, Stefan et le rendement d'une lampe

Rayonnement thermique · B. Les lois du rayonnement du corps noir · niveau 2

Énoncé

On admet que l'exitance spectrale d'un corps noir de température $T$ s'écrit $M_{λ}^{\circ} (λ, T) = T^{5} g (λ T),$ où $g$ est une fonction universelle, la même pour toutes les températures (c'est la forme de la loi de Planck, qu'il n'est pas utile de connaître). La figure en donne l'allure, rapportée à son maximum, en fonction de $x = λ T$ .

On note $F (x)$ la fraction de l'exitance totale émise aux longueurs d'onde inférieures à $λ$ , pour $x = λ T$ ( $x$ en $μ m K$ ). Entre deux valeurs de la table, on interpole linéairement.

$x$	$F (x)$	$x$	$F (x)$	$x$	$F (x)$
$1000$	$0, 0003$	$2400$	$0, 140$	$5500$	$0, 691$
$1200$	$0, 0021$	$2600$	$0, 183$	$6000$	$0, 738$
$1400$	$0, 0078$	$2800$	$0, 228$	$7000$	$0, 808$
$1600$	$0, 020$	$3000$	$0, 273$	$8000$	$0, 856$
$1800$	$0, 039$	$3500$	$0, 383$	$10000$	$0, 914$
$2000$	$0, 067$	$4000$	$0, 481$	$15000$	$0, 969$
$2200$	$0, 101$	$4500$	$0, 564$	$20000$	$0, 986$
		$5000$	$0, 634$	$30000$	$0, 995$

On prend pour domaine visible l'intervalle de $0, 40$ à $0, 80 μ m$ .

1) Montrer que la forme $M_{λ}^{\circ} = T^{5} g (λ T)$ contient la loi de Wien ( $λ_{m a x} T$ constant) et la loi de Stefan ( $M^{\circ} \propto T^{4}$ ). Montrer que la hauteur du maximum, $M_{λ, m a x}^{\circ}$ , est proportionnelle à $T^{5}$ , et interpréter ces trois puissances (aire, largeur, hauteur du pic). Calculer le rapport des hauteurs des maxima pour le Soleil ( $5800 K$ ) et le filament d'une lampe ( $2700 K$ ).

2) Pourquoi $F$ ne dépend-elle que du produit $λ T$ ? Exprimer la fraction de l'exitance émise entre $λ_{1}$ et $λ_{2}$ . Calculer la longueur d'onde du maximum et la fraction émise dans le visible pour le Soleil ( $5800 K$ ), le filament ( $2700 K$ ), le corps humain ( $310 K$ ).

3) Une lampe à incandescence consomme $60 W$ , dont $90 %$ sont rayonnés par le filament (corps gris à $2700 K$ : son spectre a la forme de celui du corps noir) ; le reste part par conduction dans les supports et le gaz. Quelle puissance la lampe rayonne-t-elle dans le visible ? On dit souvent que la lampe éclaire mal « parce que son maximum est dans l'infrarouge » : est-ce le bon argument ?

4) On cherche la température qui rend la fraction visible maximale. La calculer pour $4000$ , $5000$ , $6000$ , $6500$ , $7000$ et $8000 K$ , et conclure. Le tungstène, le plus réfractaire des métaux, fond à $3695 K$ : quelle fraction visible un filament peut-il atteindre au mieux ? Conclure sur l'éclairage par incandescence.

Corrigé

La stratégie. Tout découle d'une loi d'échelle : changer $T$ revient à dilater l'axe des longueurs d'onde (facteur $1/ T$ ) et l'axe des exitances (facteur $T^{5}$ ), sans changer la forme de la courbe. Les fractions d'énergie, elles, ne dépendent que de $λ T$ , ce qui permet de les tabuler une fois pour toutes.

1) Wien, Stefan et le pic en $T^{5}$ . Maximum : à $T$ fixé, $M_{λ}^{\circ}$ est maximale quand $g$ l'est, c'est-à-dire pour une valeur $x_{m a x}$ de $λ T$ qui ne dépend pas de $T$ : $λ_{m a x} T = x_{m a x}$ , c'est la loi de Wien ( $x_{m a x} = 2900 μ m K$ ). Aire : avec le changement de variable $x = λ T$ , $d λ = d x / T$ , $M^{\circ} = \int_{0}^{\infty} T^{5} g (λ T) d λ = T^{4} \int_{0}^{\infty} g (x) d x,$ proportionnelle à $T^{4}$ : c'est la loi de Stefan, et $σ = \int_{0}^{\infty} g (x) d x$ . Hauteur : $M_{λ, m a x}^{\circ} = T^{5} g (x_{m a x})$ , proportionnelle à $T^{5}$ . Les trois puissances se lisent sur la courbe : la largeur du pic est proportionnelle à $λ_{m a x} \propto 1/ T$ , sa hauteur à $T^{5}$ , donc son aire à $T^{5} \times T^{- 1} = T^{4}$ . Rapport des maxima : $(\frac{5 800}{2 700})^{5} = 45, 7$ . Sur un même graphique à l'échelle, le spectre du filament est un liseré au pied de celui du Soleil.

2) Fractions et visible. $F$ est le rapport de deux intégrales : $F = \frac{1}{σ T ^{4}} \int_{0}^{λ} T^{5} g (λ^{'} T) d λ^{'} = \frac{1}{σ} \int_{0}^{λ T} g (x) d x,$ qui ne dépend que de la borne $λ T$ : c'est le même changement de variable. Entre $λ_{1}$ et $λ_{2}$ , la fraction est $F (λ_{2} T) - F (λ_{1} T)$ .

Soleil, $5800 K$ : $λ_{m a x} = 0, 50 μ m$ (vert) ; $x_{1} = 0, 40 \times 5800 = 2320$ , $F = 0, 101 + 0, 6 \times 0, 039 = 0, 124$ ; $x_{2} = 4640$ , $F = 0, 564 + 0, 28 \times 0, 070 = 0, 584$ ; fraction visible $0, 584 - 0, 124 = 0, 46$ , soit 46 %.
Filament, $2700 K$ : $λ_{m a x} = 1, 07 μ m$ (infrarouge proche) ; $x_{1} = 1080$ , $F = 0, 0010$ ; $x_{2} = 2160$ , $F = 0, 067 + 0, 8 \times 0, 034 = 0, 094$ ; fraction visible 9,3 %.
Corps humain, $310 K$ : $λ_{m a x} = 9, 4 μ m$ ; $x_{2} = 248 μ m K$ , très en dessous du début de la table : fraction visible nulle en pratique (de l'ordre de $1 0^{- 21}$ ).

3) La lampe. Puissance rayonnée : $0, 90 \times 60 = 54 W$ ; dans le visible : $0, 093 \times 54 = 5, 0 W$ . Sur $60 W$ consommés, $5 W$ éclairent, moins de $9 %$ ; le reste chauffe la pièce. L'argument du maximum est insuffisant : le Soleil a son maximum dans le visible et n'y émet pourtant que $46 %$ de son énergie ; ce qui compte est la fraction de l'aire sous la courbe comprise dans la bande visible, que seule la table donne. L'efficacité lumineuse, qui pondère chaque longueur d'onde par la sensibilité de l'œil, est plus faible encore.

4) La meilleure température. Mêmes lectures de table :

$T$ (K)	$4000$	$5000$	$6000$	$6500$	$7000$	$8000$
$F (0, 80 T)$	$0, 317$	$0, 481$	$0, 606$	$0, 657$	$0, 700$	$0, 766$
$F (0, 40 T)$	$0, 020$	$0, 067$	$0, 140$	$0, 183$	$0, 228$	$0, 317$
fraction visible	$0, 30$	$0, 41$	$0, 47$	$0, 47$	$0, 47$	$0, 45$

La fraction plafonne à 47 % vers $6500$ à $7000 K$ (un calcul fin sur la loi de Planck donne le maximum à $6640 K$ ) : la température de la surface du Soleil, à laquelle l'œil s'est adapté. À la fusion du tungstène, $3695 K$ : $x_{1} = 1478$ , $F = 0, 0078 + 0, 39 \times 0, 0122 = 0, 0126$ ; $x_{2} = 2956$ , $F = 0, 228 + 0, 78 \times 0, 045 = 0, 263$ ; fraction 25 % au mieux, pour un filament qui fondrait. Aucune amélioration technique n'y peut rien : c'est la loi d'échelle qui condamne l'incandescence, un corps chaud ne peut pas être efficace dans le visible à moins de $6000 K$ . Les diodes électroluminescentes échappent à cette limite parce qu'elles ne sont pas des corps noirs : leur lumière ne vient pas de l'agitation thermique.

Ce que l'exercice installe. La loi de Wien et la loi de Stefan sont les deux faces d'une même loi d'échelle, $M_{λ}^{\circ} = T^{5} g (λ T)$ : largeur en $1/ T$ , hauteur en $T^{5}$ , aire en $T^{4}$ . Une fraction d'énergie ne dépend que de $λ T$ et se lit dans une table ; c'est la fraction, et non la position du maximum, qui dit si une source éclaire. Le meilleur corps noir pour l'œil est à la température du Soleil.

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