Du principe à l'équation différentielle : une tasse de café qui refroidit

Expression différentielle des principes ; potentiel chimique · niveau 1 (application)

Énoncé

Une tasse de café (eau et faïence), de capacité thermique totale $C \approx 1, 0 k J . K^{- 1}$ supposée constante, refroidit à l'air libre, sous la pression atmosphérique, dans une pièce à $T_{e} = 20° C$ . On donne la loi de Newton : pendant $d t$ , le café reçoit le transfert thermique $δ Q = - h A (T - T_{e}) d t$ , avec $h A \approx 0, 5 W . K^{- 1}$ ( $h$ coefficient d'échange, $A$ aire d'échange). Établir l'équation différentielle vérifiée par la température $T (t)$ du café, supposée uniforme, la résoudre, et calculer le temps mis par un café servi à $70° C$ pour descendre à $50° C$ .

Corrigé

On découpe le refroidissement en pas $d t$ . Le café est une phase condensée qui ne reçoit que le travail des forces de pression, sous pression constante : le premier principe sur un pas donne $d H = δ Q$ , soit $C d T = - h A (T - T_{e}) d t$ . D'où

$\frac{d T}{d t} + \frac{T - T _{e}}{τ} = 0, τ = \frac{C}{h A} = \frac{1000}{0 , 5} = 2000 s \approx 33 min,$

$T (t) = T_{e} + (T_{0} - T_{e}) e^{- t / τ} .$

Le café atteint $50° C$ au bout de $t = τ ln \frac{T _{0} - T _{e}}{T - T _{e}} = 2000 ln \frac{50}{30} \approx 1, 0 \times 1 0^{3} s$ , soit environ $17 min$ . L'ordre de grandeur est le bon ; un café réel refroidit un peu plus vite au début, car l'évaporation à sa surface, négligée ici, emporte de l'énergie. Le découpage en pas infinitésimaux a transformé le premier principe en une équation différentielle.