La compression dans un cylindre de moteur Diesel : une loi polytropique tirée du premier principe, jugée par le second

La stratégie. On écrit le premier principe sur un pas de piston : c'est une équation différentielle entre $T$ et $v$, qui s'intègre en une loi de puissance. Puis on fait l'inverse de l'habitude : au lieu d'appliquer le second principe pour prévoir, on l'écrit pas à pas pour juger un modèle.

1) L'adiabatique quasi statique. Une perturbation de pression traverse le cylindre (une dizaine de centimètres) en un temps de l'ordre de $0,1\mathrm{m}/360\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\approx 0,3\mathrm{ms}$, pendant lequel le piston ne parcourt que $3\mathrm{mm}$ : la pression reste uniforme, le piston va $36$ fois moins vite que le son. L'air passe donc par une suite d'états d'équilibre interne, et le travail qu'il reçoit sur un pas est $\delta w=-p\mathrm{d}v$ (avec $\mathrm{d}v<0$, $\delta w>0$). Premier principe, $\delta q=0$ : $$c_v\mathrm{d}T=-p\mathrm{d}v=-\frac{rT}{v}\mathrm{d}v⟹\frac{\mathrm{d}T}{T}=-(\gamma -1)\frac{\mathrm{d}v}{v}⟹T{v}^{\gamma -1}=\text{cste}.$$ Par l'identité : sans échange thermique et sans irréversibilité interne, $\mathrm{d}s=0$, et $\mathrm{d}u=T\mathrm{d}s-p\mathrm{d}v$ redonne $c_v\mathrm{d}T=-p\mathrm{d}v$ ; avec $s(T,v)$ fournie, $c_v\ln T+r\ln v=\text{cste}$, c'est-à-dire la même loi puisque $r/c_v=\gamma -1$. Avec $p=rT/v$, on obtient $p{v}^{\gamma }=\text{cste}$, et $$p_2=p_1{\epsilon }^{\gamma }=18^{1,40}\mathrm{bar}=57,2\mathrm{bar},T_2=T_1{\epsilon }^{\gamma -1}=330\times 18^{0,40}=1049\mathrm{K}.$$

2) La mesure. La loi des gaz parfaits entre les deux états donne $$T_2=T_1\frac{p_2{v}_2}{p_1{v}_1}=T_1\frac{p_2}{p_1\epsilon }=330\times \frac{48}{18}=880\mathrm{K}.$$ La compression réelle aboutit $170\mathrm{K}$ plus bas que l'adiabatique : l'air a perdu de la chaleur par les parois.

3) La loi polytropique tirée du premier principe. Sur un pas, $\delta w=-p\mathrm{d}v$ et $\delta q=-f\delta w$ : $$c_v\mathrm{d}T=\delta w+\delta q=(1-f)\delta w=-(1-f)\frac{rT}{v}\mathrm{d}v⟹\frac{\mathrm{d}T}{T}=-(1-f)(\gamma -1)\frac{\mathrm{d}v}{v}.$$ D'où $T{v}^{k-1}=\text{cste}$ et $p{v}^k=\text{cste}$, avec $$k=1+(1-f)(\gamma -1).$$ Le modèle donne une loi polytropique, entre l'isotherme ($k=1$, toute l'énergie reçue repart, $f=1$) et l'isentropique ($k=\gamma$, $f=0$). La mesure : $p_2/p_1={\epsilon }^k$, donc $$k=\frac{\ln (p_2/p_1)}{\ln \epsilon }=\frac{\ln 48}{\ln 18}=1,339,f=1-\frac{k-1}{\gamma -1}=1-\frac{0,339}{0,40}=0,152.$$ Travail reçu, par intégration de $-p\mathrm{d}v$ avec $p{v}^k=p_1{v}_1^k$ : $$w=\frac{p_2{v}_2-p_1{v}_1}{k-1}=\frac{r(T_2-T_1)}{k-1}=\frac{287\times 550}{0,339}=465\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1},$$ et $q=-fw=-70,5\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$. Vérification : $\Delta u=c_v(T_2-T_1)=717,5\times 550=394,6\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}=w+q$. Environ $15\%$ du travail de compression repart dans les parois.

4) Le modèle jugé par le second principe. a) Avec l'entropie fournie : $$\Delta s=c_v\ln \frac{T_2}{T_1}+r\ln \frac{v_2}{v_1}=717,5\ln \frac{880}{330}-287\ln 18=703,7-829,5=-125,8\mathrm{J}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}.$$ Le long de la compression, $\delta q=-f\delta w=fp\mathrm{d}v=f\frac{rT}{v}\mathrm{d}v$, donc $\frac{\delta q}{T}=fr\frac{\mathrm{d}v}{v}$ et $$\int \frac{\delta q}{T}=-fr\ln \epsilon =-0,152\times 287\times 2,890=-125,8\mathrm{J}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}=\Delta s.$$ L'égalité exprime que l'air, en équilibre interne à chaque instant, ne crée pas d'entropie en son sein : toute l'irréversibilité est localisée à la frontière, dans la couche limite où la température passe de $T$ (air) à $T_p$ (paroi). L'entropie diminue parce que l'air cède de la chaleur, ce que le second principe permet.

b) La chaleur traverse la frontière à la température de la paroi : $s_{\text{eˊch}}=\frac{q}{T_p}=\frac{-70,5\times 10^3}{450}=-156,7\mathrm{J}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$, et $$s_c=\Delta s-s_{\text{eˊch}}=-125,8+156,7=+31,0\mathrm{J}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}>0.$$ Globalement, rien à redire.

c) Sur un pas, $\delta s_c=\mathrm{d}s-\frac{\delta q}{T_p}=\delta q\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_p}\right)$. Dans le modèle, $\delta q<0$ à chaque pas. Tant que $T<T_p$, la parenthèse est positive et $\delta s_c<0$ : le second principe est violé. Le modèle fait céder de la chaleur par un gaz à des parois plus chaudes que lui. L'air atteint $T_p$ quand $\frac{v}{v_1}={\left(\frac{T_1}{T_p}\right)}^{1/(k-1)}={\left(\frac{330}{450}\right)}^{2,95}=0,401$, c'est-à-dire, la course étant proportionnelle au volume balayé, après une fraction $\frac{1-0,401}{1-1/18}=63\%$ de la course. Sur les 63 % premiers de la course, le modèle est physiquement impossible ; il ne vaut que sur la fin, quand l'air est plus chaud que les parois. Conclusion. En réalité, au début de la compression, l'air froid reçoit de la chaleur des parois chaudes ($\delta q>0$), et il en cède ensuite, davantage que ne le dit le modèle. Le coefficient $f$ constant n'est qu'un ajustement global de l'exposant mesuré : il reproduit $p_2$, pas l'histoire de la compression. Le second principe écrit pas à pas est un test que le bilan global ne voit pas (ici $s_c>0$ globalement). Avec des parois à $400\mathrm{K}$ ou $500\mathrm{K}$, la violation porte sur $46\%$ ou $75\%$ de la course.

5) Démarrage à froid. $T_2=T_1{\epsilon }^{k-1}=270\times 18^{0,25}=556\mathrm{K}$, bien en dessous des $700\mathrm{K}$ nécessaires : le moteur froid ne démarre pas seul. Même avec l'exposant du moteur chaud ($k=1,339$), on n'atteindrait que $719\mathrm{K}$, à la limite. D'où les bougies de préchauffage, qui chauffent la chambre avant et pendant le démarrage. Ici les parois sont plus froides que l'air pendant toute la compression : $\delta q<0$ et $T>T_p$ partout, donc $\delta s_c>0$ à chaque pas ; le modèle à $f$ constant est, cette fois, compatible avec le second principe.

Ce que l'exercice installe. Le premier principe sur un pas donne une équation différentielle qui s'intègre en une loi ($T{v}^{k-1}=\text{cste}$) ; l'identité $\mathrm{d}u=T\mathrm{d}s-p\mathrm{d}v$ et l'entropie fournie la confirment. Le second principe écrit localement, avec la température de la frontière, $\delta s_c=\delta q(1/T-1/T_p)\ge 0$, sert à juger un modèle : un bilan global positif ne suffit pas.