La bouteille de propane : ce que dit le manomètre, et pourquoi on ne la remplit jamais

1) Une verticale du diagramme. $v=V/m=31/13=2,385\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ (masse volumique moyenne $0,419\mathrm{kg}{\mathrm{L}}^{-1}$, la limite réglementaire). La masse et le volume sont fixés : $v$ ne change pas, et le point représentatif se déplace sur la verticale $v=2,385\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ du diagramme $(P,v)$. À $15{}^{\circ }\mathrm{C}$, $v_{\ell }=1/507,5=1,970\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ et $v_v=1/15,81=63,25\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ ; comme $v_{\ell }<v<v_v$, le propane est diphasé et sa pression est la pression de vapeur saturante, $P=7,32\mathrm{bar}$. La règle des moments sur $v$ donne $$x=\frac{v-v_{\ell }}{v_v-v_{\ell }}=\frac{2,385-1,970}{63,25-1,970}=6,8\times 10^{-3},$$ soit $88\mathrm{g}$ de vapeur seulement. Le liquide occupe $(1-x)m{v}_{\ell }=0,9932\times 13\times 1,970=25,4\mathrm{L}$, soit $82\%$ du volume : la vapeur remplit le reste avec moins de $1\%$ de la masse.

2) Ce que dit le manomètre. Tant qu'il reste du liquide, le propane est diphasé et $P=P_{\mathrm{sat}}(T)$ : la pression ne dépend que de la température, pas de la quantité. Avec $1\mathrm{kg}$, $v=31\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ reste inférieur à $v_v(15{}^{\circ }\mathrm{C})=63\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ : il reste du liquide, et le manomètre indique toujours $7,3\mathrm{bar}$. La pression ne chute qu'au moment où la dernière goutte s'évapore, c'est-à-dire quand la bouteille est vide. Pour connaître le contenu, on pèse la bouteille (la tare est gravée sur le col).

3) Au soleil. À $50{}^{\circ }\mathrm{C}$, $v_{\ell }=1/448,9=2,228\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, $v_v=25,89\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, $x=6,6\times 10^{-3}$ et le liquide occupe $(1-x)m{v}_{\ell }/V=93\%$ du volume : le liquide se dilate, la vapeur se comprime et se condense. La bouteille est pleine de liquide lorsque $v_{\ell }(T)=v$, soit ${\rho }_{\ell }=1/v=419,4\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$ : entre $60{}^{\circ }\mathrm{C}$ ($428,0$) et $65{}^{\circ }\mathrm{C}$ ($416,3$), l'interpolation linéaire donne $\theta =60+5\times \frac{428,0-419,4}{428,0-416,3}=63,7{}^{\circ }\mathrm{C}$, sous $22,8\mathrm{bar}$. Au-delà, le propane est un liquide monophasé à volume fixé : la table du liquide comprimé donne $25,8\mathrm{bar}$ à $+1\mathrm{K}$, $28,8\mathrm{bar}$ à $+2\mathrm{K}$, $37,9\mathrm{bar}$ à $+5\mathrm{K}$, contre $23,3$, $23,8$ et $25,2\mathrm{bar}$ de pression de vapeur saturante. La pression monte de $3\mathrm{bar}$ par kelvin : un liquide est presque incompressible, et sa dilatation empêchée se paie en pression. Sur le diagramme $(P,v)$, la verticale, à gauche du point critique ($v<v_c=1/220,5=4,54\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$), sort de la cloche par la courbe d'ébullition, puis suit une isochore du liquide presque à la verticale des isothermes. La limite de $0,42\mathrm{kg}{\mathrm{L}}^{-1}$ est choisie pour que la bouteille reste diphasée, donc à la pression modérée $P_{\mathrm{sat}}(T)$, jusqu'à $63{}^{\circ }\mathrm{C}$ environ, au-delà de ce qu'un soleil d'été lui impose ; une bouteille remplie à $0,48\mathrm{kg}{\mathrm{L}}^{-1}$ serait pleine de liquide dès $33{}^{\circ }\mathrm{C}$.

4) Le butane l'hiver. À $-10{}^{\circ }\mathrm{C}$, le butane a une pression de vapeur de $0,70\mathrm{bar}$, inférieure à la pression atmosphérique : le gaz ne sort pas de la bouteille (c'est l'air qui tendrait à y entrer), et le butane ne bout plus sous $1,013\mathrm{bar}$ en dessous de $-0,5{}^{\circ }\mathrm{C}$. Le propane, lui, est encore à $3,45\mathrm{bar}$ à $-10{}^{\circ }\mathrm{C}$ et $2,45\mathrm{bar}$ à $-20{}^{\circ }\mathrm{C}$. D'où l'usage : butane à l'intérieur, propane à l'extérieur.

5) La bouteille presque vide. Avec $1\mathrm{kg}$, $v=31\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}>v_c$ : la verticale passe à droite du point critique et sort de la cloche par la courbe de rosée. Quand on chauffe, le liquide s'évapore ; il a entièrement disparu quand $v_v(T)=v$, soit ${\rho }_v=32,3\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$ : entre $40{}^{\circ }\mathrm{C}$ ($30,16$) et $50{}^{\circ }\mathrm{C}$ ($38,63$), vers $43{}^{\circ }\mathrm{C}$ et $14,6\mathrm{bar}$. Au-delà, la pression d'une vapeur sèche croît lentement, comme celle d'un gaz.

Ce que l'exercice installe. Une enceinte rigide est une verticale du diagramme $(P,v)$ ; la règle des moments sur $v$ donne le titre, et la comparaison de $v$ avec $v_{\ell }$ et $v_v$ prévoit l'état à l'aide de la table. Tant qu'il y a deux phases, $P=P_{\mathrm{sat}}(T)$ ne dit rien de la quantité ; une fois le liquide seul, sa quasi-incompressibilité fait monter la pression de plusieurs bars par kelvin. Selon que $v<v_c$ ou $v>v_c$, on quitte la cloche par l'ébullition ou par la rosée.