thermodynamique et machines thermiques (PT) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Le calorimètre à étranglement : mesurer le titre d'une vapeur humide

Diagrammes d'état des fluides réels purs · C. Titre de vapeur et règle des moments · niveau 2

Énoncé

Une conduite transporte de la vapeur d'eau humide sous $15 bar$ ; les gouttelettes qu'elle entraîne usent les vannes et les aubes des turbines, et l'on veut mesurer son titre $x_{1}$ . On prélève un petit débit, qu'on détend à travers une vanne d'étranglement jusqu'à la pression atmosphérique, dans une petite chambre où un thermomètre indique $θ_{2} = 115^{\circ} C$ . On rappelle que, pour l'écoulement stationnaire d'un fluide à travers un organe calorifugé sans pièce mobile, avec des variations d'énergie cinétique et potentielle négligeables, l'enthalpie massique se conserve : $h_{2} = h_{1}$ (laminage, établi dans le cours sur les systèmes ouverts).

Saturation à $15 bar$ : $θ_{sat} = 198, 3^{\circ} C$ , $h_{ℓ} = 844, 6$ et $h_{v} = 2791, 0 kJ k g^{- 1}$ , $s_{ℓ} = 2, 3143$ et $s_{v} = 6, 4430 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ . Saturation à $1, 013 bar$ : $θ_{sat} = 100, 0^{\circ} C$ , $h_{ℓ} = 419, 0$ et $h_{v} = 2675, 5 kJ k g^{- 1}$ , $s_{ℓ} = 1, 3068$ et $s_{v} = 7, 3545 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ . Vapeur surchauffée à $1, 013 bar$ :

$θ$ ( $^{\circ} C$ )	$105$	$110$	$115$	$120$
$h$ ( $kJ k g^{- 1}$ )	$2685, 9$	$2696, 2$	$2706, 4$	$2716, 5$
$s$ ( $kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ )	$7, 3822$	$7, 4092$	$7, 4356$	$7, 4615$

1) Dans quel état est le fluide dans la chambre ? En déduire $h_{2}$ , puis le titre $x_{1}$ de la vapeur de la conduite.

2) Placer les états $1$ et $2$ sur le diagramme de Mollier $(h, s)$ et sur le diagramme $(lo g P, h)$ . Quelle est l'allure du laminage sur chacun ? Calculer l'entropie massique créée.

3) Domaine de l'appareil. Quel est le plus petit titre mesurable, si la sortie doit être au moins saturée ? s'il faut $5 K$ de surchauffe pour lire la température sans ambiguïté ? Que se passerait-il avec une vapeur de titre $0, 90$ ?

4) Le calorifugeage n'est pas parfait : le prélèvement perd $3 kJ k g^{- 1}$ entre la conduite et la chambre. Quelle erreur commet-on sur $x_{1}$ , et dans quel sens ?

5) La même vapeur, détendue dans une turbine idéale (adiabatique et réversible) jusqu'à $1, 013 bar$ , en sortirait-elle aussi surchauffée ? Calculer le titre de sortie et le travail massique recueilli. Comparer les deux chemins sur le diagramme $(h, s)$ .

Corrigé

1) Le titre. Dans la chambre, $P_{2} = 1, 013 bar$ et $θ_{2} = 115^{\circ} C > θ_{sat} (1, 013 bar) = 100^{\circ} C$ : le fluide est de la vapeur surchauffée, monophasée, dont deux variables fixent l'état. La table de surchauffe donne $h_{2} = 2706, 4 kJ k g^{- 1}$ . Le laminage conserve l'enthalpie massique : $h_{1} = h_{2}$ . Dans la conduite, la vapeur est diphasée à $15 bar$ , et la règle des moments sur $h$ donne $x_{1} = \frac{h _{1} - h _{ℓ}}{h _{v} - h _{ℓ}} = \frac{2 706 , 4 - 844 , 6}{2 791 , 0 - 844 , 6} = \frac{1 861 , 8}{1 946 , 4} = 0, 957.$ La vapeur contient $4, 3 %$ d'eau liquide en masse. L'état diphasé $1$ n'est pas repérable par $(P, T)$ , qui sont liés ; l'état monophasé $2$ l'est, et le laminage transporte $h$ de l'un à l'autre.

2) Sur les diagrammes. Le laminage est une horizontale du diagramme $(h, s)$ et une verticale du diagramme $(lo g P, h)$ . L'état $1$ est sur l'isobare $15 bar$ , à l'intérieur de la cloche ; l'état $2$ sur l'isobare $1, 013 bar$ , dans la vapeur surchauffée. Avec $s_{1} = s_{ℓ} + x_{1} (s_{v} - s_{ℓ}) = 2, 3143 + 0, 9565 \times 4, 1287 = 6, 2636 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ et $s_{2} = 7, 4356 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ , l'organe étant calorifugé, l'entropie massique reçue par transfert thermique est nulle, et l'entropie massique créée vaut $s_{c} = s_{2} - s_{1} = 7, 4356 - 6, 2636 = 1, 172 kJ K^{- 1} k g^{- 1} > 0 :$ le laminage est fortement irréversible, comme toute détente sans travail.

3) Domaine de l'appareil. La mesure exige une sortie monophasée. Elle est tout juste saturée si $h_{1} = h_{v} (1, 013 bar) = 2675, 5 kJ k g^{- 1}$ , soit $x_{m i n} = \frac{2 675 , 5 - 844 , 6}{1 946 , 4} = 0, 941$ ; avec $5 K$ de surchauffe ( $h_{2} = 2685, 9$ à $105^{\circ} C$ ), $x_{m i n} = 0, 946$ . Une vapeur de titre $0, 90$ a $h_{1} = 844, 6 + 0, 90 \times 1946, 4 = 2596, 4 kJ k g^{- 1} < h_{v} (1, 013 bar)$ : elle sort encore humide, de titre $\frac{2 596 , 4 - 419 , 0}{2 675 , 5 - 419 , 0} = 0, 965$ , à $100^{\circ} C$ , comme n'importe quelle vapeur plus humide. Le thermomètre ne dit plus rien : l'appareil est aveugle en dessous de $x \approx 0, 94$ . On sépare alors d'abord, mécaniquement, une partie de l'eau liquide, qu'on pèse, et le calorimètre mesure le reste. Le domaine s'étend si la conduite est à plus haute pression : l'horizontale $h_{1}$ est alors plus basse dans la cloche, mais l'isobare d'arrivée reste la même.

4) Pertes thermiques. Si le prélèvement perd $q = 3 kJ k g^{- 1}$ , le bilan devient $h_{2} = h_{1} - q$ : on attribue à la conduite l'enthalpie $h_{2}$ , trop faible de $q$ , et l'on sous-estime le titre de $q / (h_{v} - h_{ℓ}) = 3/1 946, 4 = 1, 5 \times 1 0^{- 3}$ , soit $0, 15$ point.

5) Détente isentropique. Dans une turbine idéale, $s$ se conserve : $s_{2^{'}} = s_{1} = 6, 2636 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ . À $1, 013 bar$ , $s_{ℓ} < s_{2^{'}} < s_{v}$ : la sortie est diphasée, de titre (règle des moments sur $s$ ) $x_{2^{'}} = \frac{6 , 2636 - 1 , 3068}{7 , 3545 - 1 , 3068} = \frac{4 , 9568}{6 , 0477} = 0, 820,$ et $h_{2^{'}} = 419, 0 + 0, 820 \times 2256, 5 = 2268, 4 kJ k g^{- 1}$ . Le travail massique recueilli vaut $h_{1} - h_{2^{'}} = 438 kJ k g^{- 1}$ . Mêmes pressions d'entrée et de sortie, issues opposées : la vapeur laminée sort sèche et surchauffée de $15 K$ , la vapeur détendue en turbine sort plus humide ( $18 %$ de liquide contre $4 %$ ). Sur le diagramme $(h, s)$ , le laminage est l'horizontale $1 \to 2$ , la détente idéale la verticale $1 \to 2^{'}$ ; la distance verticale de $2^{'}$ à l'horizontale est le travail que le laminage a perdu.

Ce que l'exercice installe. Remonter à un état diphasé par un état monophasé mesuré : un invariant connu (ici $h$ , conservée par le laminage, rappelée), une table de surchauffe, la règle des moments sur $h$ . Lire une même transformation sur deux diagrammes : laminage horizontal en $(h, s)$ , vertical en $(lo g P, h)$ ; détente isentropique verticale en $(h, s)$ . Discuter le domaine de validité d'une mesure et le sens d'une erreur systématique.

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