thermodynamique et machines thermiques (PT) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Les courbes des quatre diagrammes dans les deux limites, et ce qu'en pense l'eau réelle

Diagrammes d'état des fluides réels purs · D. Les diagrammes entropique, de Mollier et des frigoristes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Fonctions d'état fournies. Gaz parfait de capacités thermiques massiques constantes $c_{p}$ et $c_{v}$ , avec $c_{p} - c_{v} = r$ et $γ = c_{p} / c_{v}$ : $P v = r T$ ; $h = c_{p} T$ (origine des enthalpies prise à $T = 0$ ) ; $s = c_{p} ln \frac{T}{T _{0}} - r ln \frac{P}{P _{0}} + s_{0}$ . Liquide incompressible et indilatable de volume massique $v_{0}$ et de capacité thermique massique $c$ : $v = v_{0}$ ; $h = c T + v_{0} P + h_{0}$ ; $s = c ln \frac{T}{T _{0}} + s_{0}$ . Valeurs pour l'eau : vapeur, $c_{p} = 2, 0 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ (valeur moyenne de la vapeur peu dense entre $100$ et $400^{\circ} C$ ), $r = 0, 4615 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ ; liquide, $c = 4, 18 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ , $v_{0} = 1, 002 \times 1 0^{- 3} m^{3} k g^{- 1}$ .

Extrait des tables de l'eau ( $Z = P v / (r T)$ est le facteur de compressibilité, égal à $1$ pour un gaz parfait) :

état	$h$ ( $kJ k g^{- 1}$ )	$s$ ( $kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ )	$Z$
vapeur, $400^{\circ} C$ , $1 bar$	$3278, 6$	$8, 5452$	$0, 9987$
vapeur, $400^{\circ} C$ , $10 bar$	$3264, 5$	$7, 4669$	$0, 9869$
vapeur, $200^{\circ} C$ , $1 bar$	$2875, 5$	$7, 8356$	$0, 9949$
vapeur, $200^{\circ} C$ , $10 bar$	$2828, 3$	$6, 6955$	$0, 9435$
liquide, $20^{\circ} C$ , $1 bar$	$84, 01$	$0, 2965$
liquide, $20^{\circ} C$ , $100 bar$	$93, 28$	$0, 2943$
liquide, $50^{\circ} C$ , $1 bar$	$209, 42$	$0, 7038$
liquide, $50^{\circ} C$ , $100 bar$	$217, 94$	$0, 6992$

La vapeur saturante sous $1 bar$ est à $99, 6^{\circ} C$ ; comprimée de façon isentropique jusqu'à $10 bar$ , elle atteint $366, 6^{\circ} C$ (table).

1) Limite du gaz parfait. Établir l'équation des isothermes, isobares, isentropiques et isenthalpiques dans chacun des diagrammes $(P, v)$ , $(T, s)$ , $(h, s)$ et $(lo g P, h)$ . Quelles familles se confondent ?

2) Limite du liquide incompressible et indilatable. Même travail. Quelles familles se confondent ? Que devient une isobare dans le diagramme $(T, s)$ ?

3) Ce qu'en pense la vapeur. Le long de l'isotherme $400^{\circ} C$ , de $1$ à $10 bar$ , comparer $Δ h$ et $Δ s$ aux prévisions du gaz parfait. Même question à $200^{\circ} C$ , près de la cloche. Quelle allure ont les isothermes réelles de la vapeur dans le diagramme $(lo g P, h)$ ?

4) Ce qu'en pense le liquide. Le long de l'isotherme $20^{\circ} C$ , de $1$ à $100 bar$ , comparer $Δ h$ et $Δ s$ aux prévisions du modèle. Estimer, à partir de la table, l'échauffement de l'eau comprimée de façon isentropique de $1$ à $100 bar$ à partir de $20^{\circ} C$ . Les isobares $1$ et $100 bar$ du liquide se distinguent-elles sur un diagramme $(T, s)$ ?

5) Comparer les pentes $(\frac{\partial T}{\partial s})_{P}$ des isobares du liquide et de la vapeur dans le diagramme $(T, s)$ , puis les pentes $(\frac{\partial h}{\partial s})_{P}$ dans le diagramme $(h, s)$ .

6) Près de la cloche. Prévoir, dans la limite du gaz parfait, la température atteinte par la vapeur saturante sous $1 bar$ comprimée de façon isentropique jusqu'à $10 bar$ , et comparer à la table. Quelle valeur de $c_{p}$ faudrait-il prendre pour retrouver la table ?

Corrigé

1) Gaz parfait. Comme $h = c_{p} T$ ne dépend que de $T$ , isothermes et isenthalpes sont confondues. Diagramme $(P, v)$ : isotherme $P v = r T$ , une hyperbole ; isobare, une horizontale ; isentrope : en reportant $T = P v / r$ dans $s$ , $s = c_{p} ln v + (c_{p} - r) ln P + cte = c_{p} ln v + c_{v} ln P + cte$ , donc $s$ constante équivaut à $P v^{γ} = cte$ , plus raide que l'isotherme ( $γ > 1$ ). Diagramme $(T, s)$ : isotherme et isenthalpe horizontales ; isobare : $s - s_{0} = c_{p} ln (T / T_{0})$ , soit $T = T_{0} e^{(s - s_{0}) / c_{p}}$ , une exponentielle croissante, et les isobares se déduisent les unes des autres par la translation horizontale $- r ln (P / P_{0})$ ; isentrope verticale. Diagramme $(h, s)$ : $h$ étant proportionnelle à $T$ , il se déduit du précédent par affinité verticale : isotherme et isenthalpe horizontales, isobare $h = h_{0} e^{(s - s_{0}) / c_{p}}$ , isentrope verticale. Diagramme $(lo g P, h)$ : isotherme et isenthalpe verticales ( $h$ fixée) ; isobare horizontale ; isentrope : $c_{p} ln T = r ln P + cte$ avec $T = h / c_{p}$ , soit $ln P = \frac{c _{p}}{r} ln h + cte = \frac{γ}{γ - 1} ln h + cte,$ une courbe montante, d'autant plus raide que $c_{p} / r$ est grand.

2) Liquide incompressible et indilatable. Comme $s = c ln (T / T_{0}) + s_{0}$ ne dépend que de $T$ , isothermes et isentropes sont confondues. Diagramme $(P, v)$ : tout le liquide est sur la verticale $v = v_{0}$ ; une isotherme (ou une isentrope, ou une isenthalpe) est cette verticale, parcourue quand $P$ varie ; une isobare s'y réduit à un point. Diagramme $(T, s)$ : une isotherme est un point ( $s$ fixée par $T$ ) ; une isobare est la courbe $T = T_{0} e^{(s - s_{0}) / c}$ , qui ne dépend pas de $P$ : toutes les isobares du liquide sont confondues, et, comme le liquide saturant en fait partie, elles suivent la courbe d'ébullition aux températures où le modèle vaut. Une isenthalpe, $c T + v_{0} P = cte$ , est un ensemble de points de cette même courbe. Diagramme $(h, s)$ : une isotherme est le segment vertical $s = s (T)$ , $h = c T + v_{0} P + h_{0}$ croissant avec $P$ ; une isobare est l'exponentielle $h = c T_{0} e^{(s - s_{0}) / c} + v_{0} P + h_{0}^{'}$ : les isobares sont translatées verticalement de $v_{0} Δ P$ ; une isenthalpe est horizontale. Diagramme $(lo g P, h)$ : isobare horizontale, isenthalpe verticale, isotherme $P = (h - c T - h_{0}) / v_{0}$ : à $T$ fixée, $Δ h = v_{0} Δ P$ , soit $10 kJ k g^{- 1}$ pour $100 bar$ : une courbe presque verticale, légèrement inclinée vers les grands $h$ quand $P$ augmente.

En résumé, pour le gaz parfait :

diagramme	isotherme et isenthalpe	isobare	isentrope
$(P, v)$	hyperbole $P v = r T$	horizontale	$P v^{γ} = cte$
$(T, s)$	horizontale	$T = T_{0} e^{(s - s_{0}) / c_{p}}$	verticale
$(h, s)$	horizontale	$h = h_{0} e^{(s - s_{0}) / c_{p}}$	verticale
$(lo g P, h)$	verticale	horizontale	$ln P = \frac{c _{p}}{r} ln h + cte$

et pour le liquide incompressible et indilatable :

diagramme	isotherme et isentrope	isobare	isenthalpe
$(P, v)$	verticale $v = v_{0}$	un point	verticale $v = v_{0}$
$(T, s)$	un point	$T = T_{0} e^{(s - s_{0}) / c}$ (a)	sur cette courbe
$(h, s)$	segment vertical	translatée de $v_{0} Δ P$ (b)	horizontale
$(lo g P, h)$	quasi verticale	horizontale	verticale

(a) la même courbe pour toutes les pressions ; (b) exponentielle $h = c T_{0} e^{(s - s_{0}) / c} + v_{0} P + cte$ .

3) La vapeur. À $400^{\circ} C$ , de $1$ à $10 bar$ : $Δ h = 3264, 5 - 3278, 6 = - 14, 1 kJ k g^{- 1}$ , $0, 4 %$ de $h$ , quand le modèle prévoit $0$ ; $Δ s = 7, 4669 - 8, 5452 = - 1, 078 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ , contre $- r ln 10 = - 1, 063$ : $1, 4 %$ d'écart. $Z$ reste à $1 %$ de l'unité. À $200^{\circ} C$ , près de la cloche ( $θ_{sat} (10 bar) = 179, 9^{\circ} C$ ) : $Δ h = - 47, 2 kJ k g^{- 1}$ et $Z = 0, 944$ à $10 bar$ , $6 %$ d'écart au gaz parfait. Dans le diagramme $(lo g P, h)$ , les isothermes réelles sont verticales sous faible pression et s'infléchissent vers les petits $h$ quand la pression monte, jusqu'à la courbe de rosée : la limite du gaz parfait est celle des faibles pressions et des fortes surchauffes.

4) Le liquide. À $20^{\circ} C$ , de $1$ à $100 bar$ : $Δ h = 93, 28 - 84, 01 = 9, 27 kJ k g^{- 1}$ contre $v_{0} Δ P = 1, 002 \times 1 0^{- 3} \times 99 \times 1 0^{5} J k g^{- 1} = 9, 92 kJ k g^{- 1}$ , $7 %$ d'écart sur un effet déjà petit ; $Δ s = - 0, 0022 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ contre $0$ . Pour l'échauffement isentropique : à $100 bar$ , il faut remonter l'entropie de $0, 0022$ en chauffant, soit, avec $d s = c d T / T$ à pression fixée, $Δ T = T \frac{0 , 0022}{c} = 293 \times \frac{0 , 0022}{4 , 18} = 0, 15 K$ . Une pompe ne chauffe pas l'eau : la compression isentropique d'un liquide est pratiquement isotherme, ce que dit le modèle. À $50^{\circ} C$ , $s = 0, 7038$ sous $1 bar$ et $0, 6992$ sous $100 bar$ : un écart de $0, 005$ sur un axe gradué jusqu'à $9$ . Les deux isobares sont confondues à l'œil, et confondues avec la courbe d'ébullition

5) Pentes des isobares. À pression fixée, $d h = T d s$ pour tout fluide, et $d h = c_{p} d T$ (gaz parfait) ou $c d T$ (liquide). Dans le diagramme $(T, s)$ : $(\frac{\partial T}{\partial s})_{P} = \frac{T}{c _{p}}$ pour la vapeur, $\frac{T}{c}$ pour le liquide. Comme $c = 4, 18$ est deux fois plus grand que $c_{p} = 2, 0$ , à température égale, les isobares de la vapeur sont deux fois plus raides que celles du liquide, ce qu'on voit sur la figure. Dans le diagramme $(h, s)$ , en revanche, $(\frac{\partial h}{\partial s})_{P} = T$ quel que soit le fluide : la pente d'une isobare est la température absolue, la même pour le liquide, le palier et la vapeur au point où ils se raccordent. Une isobare du Mollier n'a pas de point anguleux sur la cloche, et le palier y est une droite de pente $T_{sat}$ .

6) Près de la cloche. L'isentrope du gaz parfait s'écrit $c_{p} ln \frac{T _{2}}{T _{1}} = r ln \frac{P _{2}}{P _{1}}$ , d'où, avec $T_{1} = 372, 76 K$ , $T_{2} = T_{1} exp (\frac{r ln 10}{c _{p}}) = 372, 76 \times e^{0, 5313} = 634, 1 K = 361, 0^{\circ} C,$ contre $366, 6^{\circ} C$ dans la table : $6 K$ d'écart sur $267 K$ d'échauffement, $2 %$ . La valeur de $c_{p}$ qui retrouve la table est $c_{p} = \frac{r ln 10}{ln ( 639 , 79/372 , 76 )} = \frac{1 , 063}{0 , 540} = 1, 97 kJ K^{- 1} k g^{- 1}$ , dans la fourchette des valeurs de la vapeur peu dense. Même en partant de la courbe de rosée, l'isentrope de la vapeur sous quelques bars est bien décrite par le gaz parfait : la compression éloigne le point de la cloche. Le résultat est en revanche sensible à $c_{p}$ (un écart de $5 %$ sur $c_{p}$ déplace $T_{2}$ d'environ $17 K$ ) : pour une grandeur précise, on lit la table.

Ce que l'exercice installe. Établir l'équation des quatre familles de courbes dans les quatre diagrammes à partir des fonctions d'état fournies : pour le gaz parfait, isotherme et isenthalpe se confondent ; pour le liquide, isotherme et isentrope se confondent, et toutes les isobares se confondent en $(T, s)$ . Puis juger chaque limite sur la table : la vapeur d'eau est un gaz parfait sous faible pression et loin de la cloche ( $Z$ proche de $1$ ), le liquide est incompressible et indilatable à $1 %$ près en $h$ et en $s$ . En $(h, s)$ , la pente d'une isobare est $T$ , pour tout fluide.

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