Le débitmètre à Venturi d'une station d'eau potable

La stratégie. Deux inconnues, $v_1$ et $v_2$, et deux équations : la conservation du débit et la relation de Bernoulli. Une mesure de différence de pression devient une mesure de débit.

1) Le modèle parfait. $v_1=\frac{4D_V}{\pi D_1^2}=\frac{4\times 0,100}{\pi \times 0,300^2}=1,41\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $v_2=v_1{\left(\frac{D_1}{D_2}\right)}^2=5,66\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : le col, quatre fois plus étroit en section, accélère l'eau quatre fois. La relation de Bernoulli entre 1 et 2, à la même altitude, donne $$P_1-P_2=\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)=\frac{1}{2}\times 1000\times (5,659^2-1,415^2)=1,50\times 10^4\mathrm{Pa},$$ soit $15,0\mathrm{kPa}$. Dans le manomètre, les fluides sont au repos : $P+\rho gz$ est uniforme dans chaque fluide. En descendant la branche gauche de la prise 1 jusqu'à la surface du mercure, puis en remontant la branche droite par le mercure ($h$) et par l'eau jusqu'à la prise 2, les hauteurs d'eau se compensent sauf sur $h$, d'où $P_1-P_2=({\rho }_{\mathrm{Hg}}-\rho )gh$, et $$h=\frac{1,50\times 10^4}{(13546-1000)\times 9,81}=0,122\mathrm{m}=12,2\mathrm{cm}.$$ L'écart de masse volumique entre le mercure et l'eau qui le surmonte, $12,5$ fois celle de l'eau, donne une dénivellation commode à lire.

2) Du manomètre au débit. En éliminant $v_1=v_2{S}_2/S_1$, le modèle parfait donne $P_1-P_2=\frac{1}{2}\rho v_2^2\left[1-(S_2/S_1{)}^2\right]$ ; avec le coefficient de débit, $$D_V=C_d{S}_2\sqrt{\frac{2(P_1-P_2)}{\rho \left[1-(S_2/S_1{)}^2\right]}}.$$ Pour $h=12,2\mathrm{cm}$ ($15,0\mathrm{kPa}$), le débit réel est $0,98\times 0,100=98\mathrm{L}{\mathrm{s}}^{-1}$ : le modèle parfait surestime le débit de $2\%$, à cause des couches limites visqueuses le long des parois. Inversement, le débit nominal réel produit $15,0/0,98^2=15,6\mathrm{kPa}$, soit $12,7\mathrm{cm}$. Comme $P_1-P_2$ est proportionnel à $D_V^2$, au quart du débit nominal la différence de pression est seize fois plus petite : $0,94\mathrm{kPa}$ et $h=7,6\mathrm{mm}$. Une erreur de lecture de $1\mathrm{mm}$ fait alors $13\%$ sur $h$ et $7\%$ sur le débit : un Venturi est précis sur une plage de débits de un à trois ou quatre ; au-delà, on en installe deux, ou un capteur électronique.

3) Le divergent. Le débit se conserve et la section s'élargit : la vitesse diminue, et la relation de Bernoulli fait remonter la pression. Dans le modèle parfait, la pression reviendrait à $P_1$ à la sortie, où la section est celle de l'entrée. Mais un écoulement qui ralentit contre une pression croissante tend à se décoller des parois et à former des tourbillons, qui dissipent de l'énergie : d'où un divergent long et peu ouvert, et une pression de sortie inférieure à $P_1$ de la perte de charge. La puissance perdue est le produit de la perte de charge (énergie perdue par unité de volume) par le débit volumique : $${\mathcal{P}}_{\text{Venturi}}=D_V\times 0,10(P_1-P_2)=0,100\times 1500=150\mathrm{W},$$ soit $150\times 8760\mathrm{h}=1,3\mathrm{MWh}$ par an. Pour le diaphragme, où le jet issu du trou s'élargit brutalement en tourbillonnant, $\mathcal{P}=0,100\times 0,60\times 15000=900\mathrm{W}$, soit $7,9\mathrm{MWh}$ par an, six fois plus. Le diaphragme coûte moins cher à l'achat ; le Venturi, plus encombrant, se paie en énergie économisée sur une conduite qui tourne jour et nuit.

Allure de la pression sur l'axe : chute au col, remontée incomplète ; la perte de charge est l'écart de pression entre l'entrée et la sortie (sections égales, vitesses égales).

4) La cavitation. La pression est la plus basse au col, où la vitesse est la plus grande. Dans le modèle parfait, $P_1-P_2$ croît comme $D_V^2$ : $P_2=P_1-15,0\mathrm{kPa}\times (D_V/D_{V,\text{nom}}{)}^2$. L'eau se vaporise au col quand $P_2$ atteint $2,34\mathrm{kPa}$ : $$D_V=D_{V,\text{nom}}\sqrt{\frac{P_1-P_{\text{sat}}}{(P_1-P_2{)}_{\text{nom}}}}=0,100\times \sqrt{\frac{2,0\times 10^5-2340}{1,50\times 10^4}}=0,36{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1},$$ $3,6$ fois le débit nominal. La station en est loin ; mais la règle est générale : là où un liquide accélère, sa pression baisse, et c'est au col d'un étranglement (ou sur l'extrados d'une aube d'hélice) qu'il faut surveiller la cavitation, qui ronge le métal.

Ce que l'exercice installe. La relation de Bernoulli et la conservation du débit forment deux équations pour deux vitesses : une différence de pression devient un débit, qui varie comme sa racine carrée. Un manomètre au repos se lit par la statique des fluides. Un coefficient de débit défini corrige le modèle parfait de quelques pour cent. La pression remonte quand l'écoulement ralentit, mais incomplètement : la perte de charge multipliée par le débit volumique est une puissance perdue. La pression la plus basse est au point le plus rapide : c'est là qu'on surveille la vaporisation.