Le jet d'eau de Genève

La stratégie. Le jet est un filet de fluide dont la pression est connue partout (celle de l'air) : la relation de Bernoulli y relie directement la vitesse à l'altitude. La conservation du débit relie ensuite la vitesse à la section.

1) La hauteur. Entre la sortie de la buse (point 0 : $P_a$, $z=0$, $v_0$) et le sommet (pression $P_a$, altitude $h$, vitesse nulle, puisque l'eau s'y arrête avant de retomber), $$P_a+\frac{1}{2}\rho v_0^2=P_a+\rho gh⟹h=\frac{v_0^2}{2g}.$$ Avec $v_0=200/3,6=55,6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $h=\frac{55,56^2}{2\times 9,81}=157\mathrm{m}$. Pour monter à $140\mathrm{m}$ sans frottement, il suffirait de $v=\sqrt{2g\times 140}=52,4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ ($189\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$). Par kilogramme, l'eau part avec $\frac{1}{2}{v}_0^2=1543\mathrm{J}$ et arrive au sommet avec $g\times 140=1373\mathrm{J}$ d'énergie potentielle : elle a perdu $$1-\frac{140}{157,3}=0,11,$$ soit $11\%$ de son énergie cinétique, dissipée par le frottement de l'air sur la colonne et sur les gouttes qui s'en détachent. Le modèle parfait est bon à $11\%$ près sur une colonne de $140\mathrm{m}$ ; la hauteur ne dépend ni du débit ni de la masse d'eau, seulement de $v_0$.

2) La buse. Le débit traverse la section de sortie à la vitesse $v_0$ : $S_0=\frac{D_V}{v_0}=\frac{0,500}{55,56}=9,0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$, d'où un diamètre $d_0=\sqrt{4S_0/\pi }=10,7\mathrm{cm}$.

3) La puissance cinétique. Pendant $\mathrm{d}t$, la masse $\rho D_V\mathrm{d}t$ quitte la buse avec l'énergie cinétique massique $\frac{1}{2}{v}_0^2$ : $${\mathcal{P}}_c=\frac{1}{2}\rho D_V{v}_0^2=\frac{1}{2}\times 1000\times 0,500\times 55,56^2=772\mathrm{kW},$$ soit $77\%$ de la puissance électrique : le reste se perd dans les moteurs, les pompes et la conduite. La puissance $\rho g{D}_V\times 140=687\mathrm{kW}$ est ce que le jet garde, sous forme d'énergie potentielle, au sommet : $89\%$ de la puissance cinétique, comme on l'a vu en 1).

4) La conduite. Dans la conduite, $v_1=\frac{D_V}{\pi (0,15{)}^2}=7,07\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. La relation de Bernoulli entre le point 1 et la sortie de la buse, à la même altitude, donne $$P_1-P_a=\frac{1}{2}\rho (v_0^2-v_1^2)=\frac{1}{2}\times 1000\times (55,56^2-7,07^2)=1,52\times 10^6\mathrm{Pa},$$ soit $15,2\mathrm{bar}$ relatifs : la buse change cette pression en vitesse. Les pompes prennent l'eau au repos à la pression $P_a$ et la livrent au point 1 avec la pression $P_1$ et la vitesse $v_1$ : par unité de volume, elles lui donnent $(P_1-P_a)+\frac{1}{2}\rho v_1^2=\frac{1}{2}\rho v_0^2$, et par seconde $\frac{1}{2}\rho D_V{v}_0^2=772\mathrm{kW}$, la puissance cinétique du jet. Dans un écoulement parfait, rien ne se perd entre la pompe et la buse : l'énergie passe de la pression à la vitesse.

5) La forme du jet. Sans frottement, la relation de Bernoulli entre la buse et l'altitude $z$ donne $v(z)=\sqrt{v_0^2-2gz}$ ; la conservation du débit, $S(z)v(z)=D_V$, donne $$S(z)=\frac{D_V}{\sqrt{v_0^2-2gz}},d(z)=d_0{\left(1-\frac{z}{h}\right)}^{-1/4}\text{avec }h=\frac{v_0^2}{2g}=157\mathrm{m}.$$ Le diamètre vaut $11,8\mathrm{cm}$ à $50\mathrm{m}$ ($v=45,9\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$), $13,8\mathrm{cm}$ à $100\mathrm{m}$ ($33,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$), $16,6\mathrm{cm}$ à $130\mathrm{m}$ ($23,2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$) : le jet s'élargit lentement, puis s'évase près du sommet, où l'eau s'arrête.

Profil du jet sans frottement (diamètres indiqués) ; les échelles horizontale (cm) et verticale (m) sont très différentes.

Le volume de la colonne montante est $$V_{\text{monteˊe}}={\int }_0^{h}S(z)\mathrm{d}z=D_V{\int }_0^h\frac{\mathrm{d}z}{v(z)}=D_V{t}_{\text{monteˊe}},$$ car $\mathrm{d}z/v$ est la durée que l'eau passe entre $z$ et $z+\mathrm{d}z$ : c'est le débit multiplié par la durée de séjour. Sans frottement, la vitesse décroît uniformément ($g$ par seconde) : $t_{\text{monteˊe}}=v_0/g=5,66\mathrm{s}$, et $V_{\text{monteˊe}}=0,500\times 5,66=2,83{\mathrm{m}}^3$. La descente dure autant : $5,7{\mathrm{m}}^3$, soit $5,7\mathrm{t}$ d'eau en l'air, contre sept annoncées. L'écart est dans le même sens que celui de la hauteur : l'air freine l'eau, qui reste plus longtemps en l'air ; surtout, la retombée se fait en gouttes, freinées jusqu'à une vitesse limite de quelques mètres par seconde, et dure bien plus longtemps que la montée. Le modèle parfait décrit bien la colonne montante, mal la pluie qui retombe.

Ce que l'exercice installe. La relation de Bernoulli entre deux points d'un même filet où la pression est connue donne la vitesse en fonction de l'altitude seulement ; dans une conduite horizontale, elle change une pression en vitesse ($15\mathrm{bar}$ pour $200\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$). Le débit conservé fait varier la section comme l'inverse de la vitesse ; le volume d'un tronçon de jet est le débit multiplié par la durée de séjour. Un écart au modèle parfait se chiffre en énergie perdue ($11\%$ ici), et la puissance cinétique d'un jet, $\frac{1}{2}\rho D_V{v}^2$, est celle que la pompe doit fournir.