Le Pitot d'un avion léger : vitesse indiquée et vitesse vraie

La stratégie. Au point d'arrêt, l'air est immobile par rapport à la sonde : toute sa pression dynamique s'y change en pression. La sonde mesure donc $\frac{1}{2}\rho v^2$, pas $v$, et la vitesse ne s'en déduit qu'avec la masse volumique.

1) La sonde. Le filet d'air qui aboutit en A part de l'amont lointain (pression $P_s$ de l'air ambiant, vitesse $v$) et s'arrête en A ; la relation de Bernoulli, altitudes égales, donne $P_A=P_s+\frac{1}{2}\rho v^2$, la pression d'arrêt. Le filet qui longe la sonde jusqu'en B y retrouve la vitesse $v$ et la pression $P_s$ (admis) : $P_B=P_s$. D'où $$P_A-P_B=\frac{1}{2}\rho v^2.$$ Pour $v_i=180/3,6=50,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $P_A-P_B=\frac{1}{2}\times 1,225\times 50,0^2=1531\mathrm{Pa}$, soit $1,5\%$ de la pression atmosphérique. Dans un manomètre à eau, $\Delta h=\frac{P_A-P_B}{{\rho }_{\text{eau}}g}=\frac{1531}{1000\times 9,81}=15,6\mathrm{cm}$ (l'anémomètre réel est une capsule déformable, plus compacte).

2) La vitesse vraie. L'anémomètre mesure $P_A-P_B=\frac{1}{2}{\rho }_0{v}_i^2=\frac{1}{2}\rho v^2$ : la vitesse vraie est $$v=v_i\sqrt{\frac{{\rho }_0}{\rho }}=50,0\times \sqrt{\frac{1,225}{0,909}}=58,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=209\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1},$$ $16\%$ de plus que la vitesse indiquée. Plus l'air est rare, plus il faut aller vite pour la même pression dynamique. La durée d'un vol (sans vent) se calcule avec la vitesse vraie : $200\mathrm{km}$ prennent $57\min$, et non $67$.

3) Le décrochage. En palier, $\frac{1}{2}\rho v^{2}S{C}_z=mg$ ; l'aile décroche quand $C_z$ atteint $C_{z,\max }$, c'est-à-dire quand la pression dynamique tombe à $$\frac{1}{2}\rho v_s^2=\frac{mg}{S{C}_{z,\max }}=\frac{1100\times 9,81}{16,2\times 1,6}=416\mathrm{Pa},$$ indépendamment de l'altitude. Or c'est exactement ce que mesure l'anémomètre : la vitesse indiquée de décrochage, $v_{i,s}=\sqrt{2\times 416/1,225}=26,1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=94\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$, est la même au niveau de la mer et à $3000\mathrm{m}$, où la vitesse vraie de décrochage vaut $94\times \sqrt{1,225/0,909}=109\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$. Les efforts aérodynamiques dépendent de $\frac{1}{2}\rho v^2$, que l'anémomètre affiche : le pilote garde un seul chiffre en tête, quelle que soit l'altitude.

4) La compressibilité. $Ma=\frac{58,0}{329}=0,18$ : la correction $M{a}^2/4$ vaut $0,8\%$ sur $P_A-P_B$, donc $0,4\%$ sur la vitesse (qui varie comme la racine carrée de la mesure) ; le modèle incompressible est excellent. Au critère usuel $Ma<0,3$, l'erreur sur la pression reste inférieure à $2,3\%$. À $Ma=0,8$, la mesure excède $\frac{1}{2}\rho v^2$ de $0,8^2/4=16\%$ ; la formule incompressible donnerait une vitesse trop grande de $\sqrt{1,16}-1=7,7\%$, soit près de $70\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$ sur un avion de ligne (une loi plus complète, hors de ce cours, donne $17\%$ sur la pression). Les avions de ligne corrigent cette erreur par le calcul ; la relation de Bernoulli de ce cours vaut pour un écoulement qu'on peut traiter comme incompressible, ce qu'on vérifie par le nombre de Mach.

Ce que l'exercice installe. Au point d'arrêt d'un obstacle, la pression dynamique se change en pression : une sonde de Pitot mesure $\frac{1}{2}\rho v^2$, et il faut connaître $\rho$ pour en tirer $v$ ($16\%$ d'écart à $3000\mathrm{m}$). L'écoulement est stationnaire dans le référentiel de l'avion, qu'on choisit pour cela. Une grandeur mesurée peut être plus utile que celle qu'on croit vouloir : la portance dépend, elle aussi, de $\frac{1}{2}\rho v^2$. Une formule a un domaine de validité ($Ma<0,3$) qu'on vérifie chiffres à l'appui.