Le refoulement d'une station de pompage : où part la puissance de la pompe

La stratégie. Tout s'écrit en hauteurs : la pompe doit apporter l'élévation géométrique plus la somme des pertes, chacune proportionnelle à $v^2/2g$. La puissance s'en déduit par $\rho g{D}_V{H}_m$, puis les rendements.

1) Le régime. $v=\frac{4D_V}{\pi D^2}=\frac{4\times 0,040}{\pi \times 0,200^2}=1,27\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; $Re=\frac{vD}{\nu }=\frac{1,27\times 0,200}{1,0\times 10^{-6}}=2,5\times 10^5$ : écoulement turbulent, comme dans presque toutes les conduites d'eau ; le coefficient $\lambda =0,020$ est la valeur usuelle pour de l'acier en service à ce nombre de Reynolds.

2) Les pertes et la hauteur manométrique. La hauteur cinétique vaut $\frac{v^2}{2g}=\frac{1,273^2}{2\times 9,81}=0,0826\mathrm{m}$. Perte régulière : $$\Delta H_r=\lambda \frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}=0,020\times \frac{800}{0,200}\times 0,0826=6,61\mathrm{m}.$$ Pertes singulières : $\sum \zeta =2,5+4\times 0,3+0,2+1,0+1,0=5,9$, d'où $\Delta H_s=5,9\times 0,0826=0,49\mathrm{m}$. Entre la surface du puits (1) et celle du réservoir (2), $H_1=\frac{P_a}{\rho g}+0$ et $H_2=\frac{P_a}{\rho g}+30\mathrm{m}$ (vitesses négligeables) ; la relation $H_2=H_1+H_m-\Delta H$ donne $$H_m=30+6,61+0,49=37,1\mathrm{m}.$$ L'énergie cinétique de l'eau dans la conduite n'apparaît pas à part : elle est perdue au débouché, dans le réservoir, et c'est le sens du coefficient $\zeta =1,0$ de la sortie.

3) Les puissances. Puissance reçue par l'eau : $\rho g{D}_V{H}_m=1000\times 9,81\times 0,040\times 37,1=14,6\mathrm{kW}$ ; puissance électrique : $\frac{14,56}{0,75\times 0,92}=21,1\mathrm{kW}$. En une heure, la station refoule $144{\mathrm{m}}^3$ et consomme $21,1\mathrm{kWh}$ : $0,147\mathrm{kWh}{\mathrm{m}}^{-3}$, l'ordre de grandeur des réseaux d'eau potable. Les pertes de charge, $7,10\mathrm{m}$ sur $37,1$, prennent $19\%$ de la puissance reçue par l'eau.

4) Le débit double. Toutes les pertes varient comme $v^2$, donc comme $D_V^2$ : elles sont multipliées par $4$, $H_m=30+4\times 7,10=58,4\mathrm{m}$. La puissance, proportionnelle à $D_V{H}_m$, est multipliée par $2\times \frac{58,4}{37,1}=3,15$ ($66,4\mathrm{kW}$ électriques), et l'énergie par mètre cube passe à $0,231\mathrm{kWh}{\mathrm{m}}^{-3}$. Doubler le débit dans une conduite existante coûte cher : c'est la raison des réservoirs de tête, qui permettent de pomper longtemps à débit modéré. (En pratique, une pompe donnée ne fournit pas n'importe quel couple débit-hauteur ; on la choisit pour ce point de fonctionnement.)

5) Le diamètre. À débit fixé, $v\propto D^{-2}$, donc $\frac{v^2}{2g}\propto D^{-4}$ et $\lambda \frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}\propto D^{-5}$ (les pertes singulières, elles, varient comme $D^{-4}$). Avec $D=250\mathrm{mm}$ : $v=0,815\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $\frac{v^2}{2g}=0,0339\mathrm{m}$, $\Delta H_r=6,61\times (200/250{)}^5=2,17\mathrm{m}$, $\Delta H_s=0,20\mathrm{m}$, $H_m=32,4\mathrm{m}$. Puissance électrique : $\frac{1000\times 9,81\times 0,040\times 32,37}{0,69}=18,4\mathrm{kW}$, soit $2,7\mathrm{kW}$ de moins ; sur $4000\mathrm{h}$, $10,8\mathrm{MWh}$ économisés par an, environ $1600$ euros. Le choix du diamètre est un arbitrage d'ingénieur : le surcoût d'achat et de pose d'une conduite plus grosse, payé une fois, contre l'énergie économisée chaque année pendant des décennies ; la forte puissance de $D$ fait que quelques centimètres de plus suffisent souvent.

Ligne de charge (à l'échelle) : saut de la pompe, pente régulière, petites marches aux singularités. La ligne piézométrique $P/(\rho g)+z$ est $0,08\mathrm{m}$ plus bas, confondue avec elle à cette échelle.

6) L'énergie perdue. Les pertes de charge sont le travail des forces de viscosité, qui ne disparaît pas : il devient de l'énergie interne de l'eau. Par kilogramme, l'eau perd $g\Delta H=9,81\times 7,10=70\mathrm{J}$ d'énergie mécanique ; dans une conduite calorifugée, sa température monte de $$\Delta T=\frac{g\Delta H}{c}=\frac{9,81\times 7,10}{4180}=1,7\times 10^{-2}\mathrm{K},$$ $17\mathrm{mK}$ : imperceptible, et pourtant c'est là que partent $2,8\mathrm{kW}$ de la puissance reçue par l'eau, $4\mathrm{kW}$ de la puissance électrique. Une énergie mécanique « perdue » est une énergie dégradée, presque impossible à récupérer.

Ce que l'exercice installe. La pompe paie l'élévation, l'énergie cinétique perdue au débouché et les pertes de charge, toutes écrites en hauteurs et additionnées. Les pertes croissent comme le carré du débit et, à débit fixé, comme l'inverse de la puissance cinquième du diamètre : le dimensionnement d'une conduite est un choix économique. La puissance hydraulique $\rho g{D}_V{H}_m$ se divise par les rendements des machines. L'énergie dissipée devient de l'énergie interne, en un échauffement minuscule.