Le siphon d'aquarium et la limite des dix mètres

La stratégie. La relation de Bernoulli donne d'abord la vitesse là où la pression est connue (la sortie, à l'air libre), puis la pression là où la vitesse est connue (le point haut, où le débit impose la vitesse).

1) La vitesse. Entre la surface libre (pression $P_a$, vitesse négligeable, altitude $0$) et la sortie S (pression $P_a$, altitude $-H$) : $$P_a=P_a-\rho gH+\frac{1}{2}\rho v^2⟹v=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\times 9,81\times 0,80}=3,96\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Le point haut n'intervient pas. Débit : $D_V=\frac{\pi \times 0,010^2}{4}\times 3,96=3,1\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1}$, soit $0,31\mathrm{L}{\mathrm{s}}^{-1}$ ou $18,7\mathrm{L}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$. Pour $100\mathrm{L}$ : $100/0,311=320\mathrm{s}$, environ $5\min$. Pendant ce temps, le niveau baisse de $25\mathrm{cm}$ : $H$ passe de $0,80$ à $1,05\mathrm{m}$ et la vitesse augmente de $\sqrt{1,05/0,80}-1=15\%$ ; le calcul complet (bilan de volume, comme pour une vidange) donne $5,0\min$ au lieu de $5,4$ : l'ordre de grandeur ne change pas. La surface ($0,40{\mathrm{m}}^2$) descend à $0,8\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$, cinq mille fois moins vite que l'eau du tuyau : le régime quasi stationnaire est justifié.

2) Le point haut. Le tuyau a une section constante : le débit conservé impose la même vitesse $v$ partout dans le tuyau. Entre deux points du tuyau, la relation de Bernoulli se réduit alors à $P+\rho gz=\text{cste}$ : la pression varie avec l'altitude comme dans un fluide au repos, mais avec une autre constante. Avec la sortie ($P_a$, $-H$), $$P_T=P_a-\rho g(h+H)=101,3\times 10^3-1000\times 9,81\times 1,10=90,5\mathrm{kPa}.$$ La pression est minimale au point le plus haut du tuyau. À une même altitude, la pression dans le tuyau est inférieure à celle de l'eau immobile de l'aquarium de $\frac{1}{2}\rho v^2=\rho gH=7,85\mathrm{kPa}$ : c'est la pression « dépensée » à mettre l'eau en mouvement.

3) La limite. Le siphon fonctionne tant que $P_T>P_{\text{sat}}$ ; au-delà, l'eau se vaporise au sommet, une poche de vapeur coupe la colonne et le siphon se désamorce : $$h_{\max }=\frac{P_a-P_{\text{sat}}}{\rho g}-H=\frac{101,3\times 10^3-2340}{1000\times 9,81}-0,80=10,09-0,80=9,3\mathrm{m}.$$ Dans le modèle parfait, ni le diamètre du tuyau ni la vitesse n'interviennent : seule compte la hauteur totale $h+H$ entre la sortie et le sommet, bornée par la hauteur d'eau que la pression atmosphérique peut soutenir. À $2000\mathrm{m}$ : $\frac{79,5\times 10^3-2340}{1000\times 9,81}=7,87\mathrm{m}$, soit $h_{\max }=7,1\mathrm{m}$. Avec de l'eau à $60{}^{\circ }\mathrm{C}$ : $\frac{101,3\times 10^3-19,9\times 10^3}{983\times 9,81}=8,44\mathrm{m}$, soit $h_{\max }=7,6\mathrm{m}$. C'est la « limite des dix mètres », celle que les fontainiers de Florence rencontraient en aspirant l'eau d'un puits, et celle de la hauteur d'aspiration d'une pompe placée au-dessus d'un plan d'eau.

4) L'étang. Il faudrait $h+H=9,5+2=11,5\mathrm{m}$, plus que $10,09\mathrm{m}$ : la formule donnerait au sommet $P_T=101,3-9,81\times 11,5=-11,5\mathrm{kPa}$, une pression négative, impossible. L'eau ne passera pas, quel que soit le tuyau ; il faut une pompe, ou un siphon qui ne monte pas à plus de $8\mathrm{m}$ environ au-dessus de l'étang avec cette sortie. En pratique, un siphon s'arrête avant : l'eau contient de l'air dissous, qui se dégage quand la pression baisse ; les bulles s'accumulent au point haut, où elles forment une poche qui grossit jusqu'à couper la colonne. Les siphons de vidange réels restent sous sept ou huit mètres et sont purgés de leur air.

Ce que l'exercice installe. La relation de Bernoulli donne la vitesse là où la pression est connue, puis la pression là où la vitesse est connue. Dans un tuyau de section constante, la vitesse est uniforme et $P+\rho gz$ aussi : la pression baisse quand on monte, et elle est inférieure de $\frac{1}{2}\rho v^2$ à celle d'un liquide au repos à la même altitude. Une pression absolue ne descend pas sous la pression de vapeur du liquide : d'où la limite des dix mètres, qui dépend de l'altitude et de la température, pas du diamètre.