thermodynamique et machines thermiques (PT) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Du cycle de Carnot au cycle de Rankine : pourquoi les centrales pompent du liquide

Thermodynamique industrielle : dispositifs et cycles · E. Cycles thermodynamiques industriels · niveau 2

Énoncé

On veut faire travailler de l'eau entre une chaudière à $250^{\circ} C$ et un condenseur à $40^{\circ} C$ . Extrait de la table de saturation de l'eau ( $v_{ℓ}$ en $d m^{3} k g^{- 1}$ , $v_{v}$ en $m^{3} k g^{- 1}$ ) :

$T$ ( $^{\circ} C$ )	$P$ (bar)	$h_{ℓ}$	$h_{v}$	$s_{ℓ}$	$s_{v}$	$v_{ℓ}$	$v_{v}$
$40$	$0, 0738$	$167, 5$	$2573, 5$	$0, 5724$	$8, 2555$	$1, 0079$	$19, 52$
$250$	$39, 76$	$1085, 8$	$2800, 9$	$2, 7935$	$6, 0721$	$1, 2517$	—

Le cycle de Carnot. Le fluide parcourt quatre organes : un compresseur calorifugé et réversible ( $1 \to 2$ ) amène un mélange liquide-vapeur à l'état de liquide saturant à $250^{\circ} C$ ; la chaudière ( $2 \to 3$ ) le vaporise entièrement à $250^{\circ} C$ ; une turbine calorifugée et réversible ( $3 \to 4$ ) le détend jusqu'à $0, 0738 bar$ ; le condenseur ( $4 \to 1$ ) ne condense qu'une partie de la vapeur, jusqu'à l'entropie de l'état 2.

1) Tracer ce cycle sur le diagramme $(T, s)$ et donner son sens de parcours. Calculer les titres $x_{4}$ et $x_{1}$ , les travaux $w_{t}$ (turbine) et $w_{c}$ (compresseur), les transferts thermiques $q_{c}$ (chaudière) et $q_{f}$ (condenseur), et le rendement. Le comparer à $1 - T_{f} / T_{c}$ et retrouver ces résultats par des aires.

2) Calculer le volume massique du fluide à l'entrée et à la sortie du compresseur. Conclure sur la faisabilité de ce cycle.

Le cycle de Rankine. On condense maintenant toute la vapeur : l'état $1^{'}$ est le liquide saturant à $40^{\circ} C$ ; une pompe calorifugée et réversible le porte à $39, 76 bar$ (état $2^{'}$ ) ; la chaudière chauffe le liquide jusqu'à $250^{\circ} C$ puis le vaporise ; turbine et état 4 sont inchangés. Les tables donnent, pour le liquide sous $39, 76 bar$ de même entropie que l'état $1^{'}$ : $T = 40, 12^{\circ} C$ et $h = 171, 53 kJ k g^{- 1}$ .

3) À partir de l'identité thermodynamique, montrer que le travail massique de la pompe vaut $w_{p} = \int v d P \approx v_{ℓ} Δ P$ . Le calculer, le comparer à la valeur des tables et commenter l'échauffement du liquide. Placer $1^{'}$ et $2^{'}$ sur le diagramme.

4) Calculer $q_{c}$ , le travail net et le rendement du cycle de Rankine. Comparer le travail de compression au travail de la turbine dans les deux cycles.

5) Sur le diagramme, où le cycle de Rankine perd-il par rapport à celui de Carnot ? Calculer la part de $q_{c}$ reçue au-dessous de $250^{\circ} C$ et la température moyenne à laquelle elle est reçue.

Corrigé

La stratégie. Chaque organe est un système ouvert : $w_{u} = Δ h$ pour les machines calorifugées, $q = Δ h$ pour les échangeurs ; les évolutions réversibles et calorifugées sont des verticales. Les titres se calculent par extensivité sur l'entropie, puis donnent $h$ et $v$ .

1) Le cycle de Carnot. C'est un rectangle sous la cloche : deux paliers ( $T_{c} = 523, 15 K$ , $T_{f} = 313, 15 K$ ) et deux verticales, parcouru dans le sens horaire (chaleur reçue en haut, rejetée en bas : moteur). Sous $0, 0738 bar$ , $s_{v} - s_{ℓ} = 7, 6831$ et $h_{v} - h_{ℓ} = 2406, 0$ : $x_{4} = \frac{6 , 0721 - 0 , 5724}{7 , 6831} = 0, 7158, x_{1} = \frac{2 , 7935 - 0 , 5724}{7 , 6831} = 0, 2891,$ d'où $h_{4} = 1889, 7$ et $h_{1} = 863, 1 kJ k g^{- 1}$ . Puis ( $kJ k g^{- 1}$ ) : $w_{t} = h_{4} - h_{3} = - 911, 2, w_{c} = h_{2} - h_{1} = + 222, 7,$ $q_{c} = h_{3} - h_{2} = 1715, 1, q_{f} = h_{1} - h_{4} = - 1026, 6,$ de somme nulle, et $η = \frac{- ( w _{t} + w _{c} )}{q _{c}} = \frac{688 , 5}{1 715 , 1} = 0, 4014 = 1 - \frac{313 , 15}{523 , 15}$ . Par les aires : sous le palier haut, $q_{c} = T_{c} (s_{3} - s_{2}) = 523, 15 \times 3, 2786 = 1715, 2$ ; sous le palier bas, $∣ q_{f} ∣ = T_{f} (s_{4} - s_{1}) = 1026, 7$ (même largeur $3, 2786$ ), égaux aux bilans à la précision des tables ; le travail fourni est l'aire du rectangle, $(T_{c} - T_{f}) \times 3, 2786 = 688, 5 kJ k g^{- 1}$ .

2) Un compresseur impossible. À l'entrée, $v_{1} = (1 - x_{1}) v_{ℓ} + x_{1} v_{v} = 0, 711 \times 1, 0 \times 1 0^{- 3} + 0, 289 \times 19, 52 = 5, 64 m^{3} k g^{- 1}$ ; à la sortie, $v_{2} = 1, 25 d m^{3} k g^{- 1}$ : un rapport de 4 500. Il faudrait aspirer un brouillard de gouttes et de vapeur très peu dense et le comprimer jusqu'au liquide, sans que les gouttes érodent les aubes ni que les deux phases se séparent, et la machine consommerait $24 %$ du travail de la turbine. Aucun compresseur réel ne le fait.

3) La pompe. Calorifugée et réversible : $d s = 0$ , et l'identité donne $d h = v d P$ . Le liquide étant presque incompressible, $w_{p} = h_{2^{'}} - h_{1^{'}} = \int v d P \approx v_{ℓ} (P_{2} - P_{1}) = 1, 0079 \times 1 0^{- 3} \times (39, 76 - 0, 074) \times 1 0^{5} = 4, 0 kJ k g^{- 1} .$ Les tables donnent $171, 53 - 167, 53 = 4, 00 kJ k g^{- 1}$ : le modèle est exact à $0, 1 %$ . Dans ce modèle, $d s = c d T / T = 0$ impose aussi $T$ constante ; les tables donnent $+ 0, 12 K$ , effet de la dilatation du liquide. Sur le diagramme, $2^{'}$ est confondu avec $1^{'}$ : une pompe ne chauffe pas, et la figure d'un cycle de Rankine n'a pas de verticale de $T_{f}$ à $T_{c}$ .

4) Le cycle de Rankine. $q_{c} = h_{3} - h_{2^{'}} = 2800, 9 - 171, 5 = 2629, 4 kJ k g^{- 1}$ ; travail net fourni $911, 2 - 4, 0 = 907, 2 kJ k g^{- 1}$ ; $η = \frac{907 , 2}{2 629 , 4} = 0, 345.$ La pompe prend $4, 0/911, 2 = 0, 44 %$ du travail de la turbine, contre $24 %$ pour le compresseur de Carnot : comprimer un liquide, dont le volume massique est mille fois plus petit que celui du mélange, ne coûte presque rien ( $w = \int v d P$ ). Le travail net par kilogramme est plus grand ( $907$ contre $688 kJ k g^{- 1}$ ), la machine est plus compacte, et le compresseur impossible a disparu.

5) Ce qu'on perd. Le rendement baisse de $0, 401$ à $0, 345$ . Sur le diagramme, le cycle de Rankine est le rectangle de Carnot augmenté, à gauche, d'une bande (en bleu) où la chaudière chauffe le liquide le long de la courbe d'ébullition, de $40$ à $250^{\circ} C$ . Cette chaleur vaut $h_{2} - h_{2^{'}} = 1085, 8 - 171, 5 = 914, 3 kJ k g^{- 1}$ , soit $35 %$ de $q_{c}$ , reçus à la température moyenne $\frac{914 , 3}{2 , 7935 - 0 , 5724} = 412 K$ ( $139^{\circ} C$ ) : de la chaleur reçue plus froid se change moins bien en travail. On paie ce prix pour avoir une pompe ; on le réduira en réchauffant l'eau d'alimentation autrement qu'avec la chaleur de la chaudière.

Ce que l'exercice installe. Lire la faisabilité d'un cycle sur le diagramme $(T, s)$ : titres par extensivité sur les verticales, volumes massiques ; le rectangle de Carnot exige de comprimer un mélange (rapport de volumes de $4500$ ), impraticable. Une pompe coûte $w_{p} = \int v d P \approx v_{ℓ} Δ P$ (déduit de $d h = T d s + v d P$ ), presque rien, et ne chauffe pas : sur le diagramme, $2^{'} ≃ 1^{'}$ . Le cycle de Rankine perd sur Carnot parce qu'un tiers de sa chaleur entre au-dessous de $T_{c}$ , en chauffant le liquide.

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