thermodynamique et machines thermiques (PT) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Le sèche-cheveux : débit, dilatation et termes qu'on a le droit de négliger

Thermodynamique industrielle : dispositifs et cycles · B. Premier principe industriel · niveau 2

Énoncé

Un sèche-cheveux de $2000 W$ aspire, en régime établi, $1, 8 m^{3}$ d'air par minute à $20^{\circ} C$ sous $1, 013 bar$ , à travers une grille de section $S_{1} = 20 c m^{2}$ . L'air traverse un ventilateur, puis une résistance chauffante, et sort par une buse rectangulaire de $7, 0 cm \times 1, 8 cm$ , à la pression atmosphérique. On assimile toute la puissance électrique à celle de la résistance (le moteur du ventilateur en prend environ $1 %$ ) et l'on néglige les pertes thermiques par le boîtier. L'air est un gaz parfait (données communes).

On étudie deux surfaces de contrôle : $Σ_{A}$ , qui englobe tout l'appareil, et $Σ_{B}$ , qui contient l'air seul et laisse la résistance à l'extérieur (pointillés autour d'elle).

1) Calculer le débit massique $D_{m}$ . Pourquoi est-ce lui, et non le débit volumique, qui se conserve dans l'appareil ?

2) Écrire le premier principe pour $Σ_{A}$ et en déduire la température de l'air soufflé, en négligeant d'abord les termes cinétique et de pesanteur. Calculer le débit volumique à la sortie et le comparer au débit aspiré.

3) Calculer les vitesses $c_{1}$ et $c_{2}$ , puis $Δ e_{c}$ ; estimer $g Δ z$ pour un appareil tenu à bout de bras ( $∣ Δ z ∣ ⩽ 0, 3 m$ ). Le choix de la question 2 était-il justifié ? De combien corrige-t-il la température de sortie ?

4) Avec la surface $Σ_{B}$ , que valent $w_{u}$ et $q$ ? Le résultat de la question 2 change-t-il ?

5) Calculer l'entropie massique créée $s_{c}$ avec $Σ_{A}$ , puis avec $Σ_{B}$ en prenant la résistance à $600^{\circ} C$ . Où naît l'entropie ? La surpression du ventilateur, quelques centaines de pascals, change-t-elle le résultat ?

6) Cas limite : que prédit le bilan si le ventilateur se bloque ? Quel dispositif l'appareil doit-il comporter ?

Corrigé

La stratégie. Un appareil traversé par un fluide en régime établi est un système ouvert à une entrée et une sortie : on calcule d'abord le débit massique, conservé, puis on écrit le premier principe en grandeurs massiques, et l'on ne néglige un terme qu'après l'avoir chiffré.

1) Le débit massique. À l'aspiration, $v_{1} = \frac{r T _{1}}{P _{1}} = \frac{287 \times 293 , 15}{1 , 013 \times 1 0 ^{5}} = 0, 8305 m^{3} k g^{- 1}$ , et le débit volumique vaut $D_{V, 1} = 1, 8/60 = 0, 030 m^{3} s^{- 1}$ : $D_{m} = \frac{D _{V, 1}}{v _{1}} = \frac{0 , 030}{0 , 8305} = 3, 61 \times 1 0^{- 2} kg s^{- 1} = 36, 1 g s^{- 1} .$ En régime stationnaire, la masse contenue dans l'appareil ne varie pas : il sort autant de masse qu'il en entre, $D_{m, 1} = D_{m, 2}$ . Le débit volumique $D_{V} = D_{m} v$ n'a aucune raison de se conserver, puisque l'air chauffé à pression constante se dilate.

2) La température de sortie. Pour $Σ_{A}$ , l'énergie électrique entre sous forme de travail (le courant fait travailler les forces électriques sur les porteurs de charge à l'intérieur de la surface) : $w_{u} = P_{el} / D_{m}$ , et $q = 0$ (boîtier sans pertes). Avec $Δ e_{c}$ et $Δ e_{p}$ négligés : $Δ h = w_{u} = \frac{P _{el}}{D _{m}} = \frac{2000}{3 , 612 \times 1 0 ^{- 2}} = 55, 4 kJ k g^{- 1}, T_{2} - T_{1} = \frac{w _{u}}{c _{p}} = 55, 1 K .$ L'air sort à $75^{\circ} C$ , ordre de grandeur des sèche-cheveux en position chaude. Le volume massique devient $v_{2} = r T_{2} / P_{2} = 0, 9866 m^{3} k g^{- 1}$ , et le débit volumique $D_{V, 2} = D_{m} v_{2} = 35, 6 L s^{- 1}$ au lieu de $30, 0$ : le rapport vaut $v_{2} / v_{1} = T_{2} / T_{1} = 1, 19$ . Il sort $19 %$ de volume de plus qu'il n'en entre.

3) Les termes négligés. $c_{1} = D_{V, 1} / S_{1} = 0, 030/20 \times 1 0^{- 4} = 15, 0 m s^{- 1}$ ; la buse a $S_{2} = 12, 6 c m^{2}$ , d'où $c_{2} = \frac{D _{m} v _{2}}{S _{2}} = \frac{3 , 612 \times 1 0 ^{- 2} \times 0 , 9866}{12 , 6 \times 1 0 ^{- 4}} = 28, 3 m s^{- 1}, Δ e_{c} = \frac{c _{2}^{2} - c _{1}^{2}}{2} = 288 J k g^{- 1} .$ C'est $0, 5 %$ de $Δ h$ ; $g ∣ Δ z ∣ ⩽ 9, 81 \times 0, 3 = 3 J k g^{- 1}$ , cent fois moins encore. Le choix était justifié. En gardant $Δ e_{c}$ , $c_{p} Δ T = w_{u} - Δ e_{c}$ : la température de sortie baisse de $288/1005 = 0, 29 K$ , invisible. Ce qui compte n'est pas que la vitesse « soit grande » ( $28 m s^{- 1}$ , c'est $100 km h^{- 1}$ ) mais que $\frac{1}{2} c^{2}$ soit petit devant $Δ h$ .

4) Changer de frontière. Avec $Σ_{B}$ , la résistance est à l'extérieur : l'air ne reçoit aucun travail ( $w_{u} \approx 0$ , le ventilateur étant négligé), mais un transfert thermique $q = P_{el} / D_{m} = 55, 4 kJ k g^{- 1}$ venu du fil chaud. Le premier principe donne le même $Δ h$ : la nature de l'échange (travail ou transfert thermique) dépend de la frontière choisie, pas le bilan. Il faut donc toujours dire quelle surface de contrôle on a tracée.

5) L'entropie. Pour $Σ_{A}$ , aucun transfert thermique ne traverse la frontière : $s_{e} = 0$ et, la pression étant uniforme, $s_{c} = Δ s = c_{p} ln \frac{T _{2}}{T _{1}} = 1005 ln \frac{348 , 2}{293 , 15} = 173 J K^{- 1} k g^{- 1},$ soit $D_{m} s_{c} = 6, 25 W K^{- 1}$ créés en permanence. Pour $Σ_{B}$ , la frontière touche le fil à $T_{f} = 873 K$ : $s_{e} = q / T_{f} = 55, 4 \times 1 0^{3} /873 = 63, 4 J K^{- 1} k g^{- 1}$ , et $s_{c} = Δ s - s_{e} = 110 J K^{- 1} k g^{- 1}$ . Les deux résultats se complètent : $63$ naissent dans le fil (effet Joule, qui dégrade du travail en énergie interne) et $110$ dans le transfert thermique du fil à $600^{\circ} C$ vers un air à moins de $80^{\circ} C$ . Une surpression de $300 Pa$ ajoute $- r ln (P_{2} / P_{1}) \approx - 0, 85 J K^{- 1} k g^{- 1}$ : négligeable devant $173$ .

6) Ventilateur bloqué. $Δ T = P_{el} / (D_{m} c_{p})$ diverge quand $D_{m} \to 0$ : $110 K$ à débit moitié, $275 K$ au cinquième. Le modèle stationnaire cesse de valoir (l'air immobile ne refroidit plus la résistance, qui monte jusqu'à rougir), d'où le thermostat de sécurité qui coupe la résistance au-delà d'une température de consigne. C'est aussi pourquoi un sèche-cheveux à la grille encrassée chauffe davantage et se coupe.

Ce que l'exercice installe. Le débit massique se conserve, le débit volumique non dès que le fluide change de température. Le premier principe d'un système ouvert se lit $Δ h = w_{u} + q$ après avoir chiffré $Δ e_{c}$ et $Δ e_{p}$ devant $Δ h$ . Travail ou transfert thermique dépend de la surface de contrôle, le bilan non ; l'entropie créée se localise en déplaçant cette surface. Un cas limite ( $D_{m} \to 0$ ) montre où le modèle cesse de valoir.

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