Problème : la centrale nucléaire, où passent les deux tiers de la chaleur du réacteur

La stratégie. Chaque organe est un système ouvert ; sur un tour, $\sum (w_u+q)=0$ et l'entropie du fluide revient à sa valeur. Le diagramme $(T,s)$ change les transferts en aires, et les deux paliers (évaporation et condensation) changent les entropies en énergies : c'est ce qui donne une égalité là où le théorème de Carnot ne donne qu'une inégalité.

1) Les bornes. L'eau secondaire reçoit $q_c>0$ de l'eau primaire dans le générateur de vapeur (source chaude), cède $q_f<0$ à la rivière dans le condenseur (source froide), reçoit $w_p>0$ de la pompe et cède $w_t<0$ à la turbine. Carnot entre l'eau primaire à $596,15\mathrm{K}$ et la rivière à $288,15\mathrm{K}$ : $1-288,15/596,15=0,517$. Entre la vapeur ($543,12\mathrm{K}$) et le condenseur ($306,02\mathrm{K}$) : $1-306,02/543,12=0,437$. Sur le diagramme : 1 sur la courbe d'ébullition à $32,9{}^{\circ }\mathrm{C}$ ; 2 confondu avec 1 (la pompe ne chauffe pas) ; $2\to 3$ le long de la courbe d'ébullition jusqu'à $270{}^{\circ }\mathrm{C}$, puis palier jusqu'à la courbe de rosée (3) ; $3\to 4$ dans la cloche ; $4\to 1$ palier de condensation. Sens horaire : moteur.

2) Le cycle idéal. Pompe : $w_p=v_{\ell }\Delta P=1,0053\times 10^{-3}\times (55-0,05)\times 10^5=5,5\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ (avec $\mathrm{d}h=v\mathrm{d}P$ à $s$ constante), d'où $h_2=143,2\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$. Turbine : verticale, $s_{4s}=s_3$ ; $$x_{4s}=\frac{5,9307-0,4762}{7,9176}=0,6889,h_{4s}=137,7+0,6889\times 2423,0=1806,9\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1},$$ $w_t=h_{4s}-h_3=-982,8\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ (la pompe en coûte $0,6\%$) ; $q_c=h_3-h_2=2789,7-143,2=2646,5\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ et $${\eta }_0=\frac{982,8-5,5}{2646,5}=0,369.$$

3) La température moyenne. Le condenseur est un palier à $T_f$ : $q_f=h_1-h_{4s}=-T_f(s_{4s}-s_1)$. La pompe et la turbine idéales sont des verticales : $s_2=s_1$ et $s_{4s}=s_3$, donc $s_{4s}-s_1=s_3-s_2$ et $|q_f|=T_f(s_3-s_2)$. Avec ${\eta }_0=1-|q_f|/q_c$ : $${\eta }_0=1-\frac{T_f(s_3-s_2)}{q_c}=1-\frac{T_f}{{\bar{T}}_c},{\bar{T}}_c=\frac{2646,5}{5,9307-0,4762}=485,2\mathrm{K}(212{}^{\circ }\mathrm{C}),$$ et $1-306,02/485,2=0,369$ : le cycle idéal a le rendement d'un cycle de Carnot fonctionnant entre ${\bar{T}}_c$ et $T_f$. Sur le diagramme, ${\bar{T}}_c$ est la hauteur du rectangle de même largeur ($s_3-s_2$) et de même aire ($q_c$) que la surface sous la ligne $2\to 3$. La vapeur est produite à $270{}^{\circ }\mathrm{C}$, mais le chauffage du liquide, $h_{\ell }(55\mathrm{bar})-h_2=1185,1-143,2=1041,9\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, prend $39\%$ de $q_c$, reçus à la température moyenne $\frac{1041,9}{2,9762-0,4762}=416,8\mathrm{K}$ ($144{}^{\circ }\mathrm{C}$) : c'est ce long morceau de courbe d'ébullition qui fait descendre ${\bar{T}}_c$ de $270$ à $212{}^{\circ }\mathrm{C}$.

4) La turbine réelle, et le résultat. $s_4=0,4762+0,75\times 7,9176=6,4144\mathrm{kJ}{\mathrm{K}}^{-1}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ ; turbine calorifugée : $$s_c=s_4-s_3=6,4144-5,9307=0,484\mathrm{kJ}{\mathrm{K}}^{-1}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}.$$ Sur un tour, $(s_2-s_1)+(s_3-s_2)+(s_4-s_3)+(s_1-s_4)=0$ avec $s_2=s_1$ et $s_4-s_3=s_c$ : $s_4-s_1=(s_3-s_2)+s_c$. Le condenseur est encore un palier à $T_f$, d'où $$|q_f|=h_4-h_1=T_f(s_4-s_1)=T_f(s_3-s_2+s_c),\eta =1-\frac{|q_f|}{q_c}=1-\frac{T_f}{{\bar{T}}_c}-\frac{T_f{s}_c}{q_c}.$$ Numériquement, $\frac{T_f{s}_c}{q_c}=\frac{306,02\times 0,4837}{2646,5}=0,056$ et $\eta =0,369-0,056=0,313$ (directement : $h_4=1955,0$, $|w_t|=834,7$, $(834,7-5,5)/2646,5=0,313$). Par rapport à $1-T_f/T_c=0,437$, on perd $0,068$ parce que la chaleur entre au-dessous de $T_c$, et $0,056$ parce que la turbine crée de l'entropie ; par rapport à $0,517$, il faut ajouter les écarts de température dans le générateur de vapeur ($323$ contre $270{}^{\circ }\mathrm{C}$) et le condenseur ($32,9$ contre $15{}^{\circ }\mathrm{C}$). La tranche réelle a un rendement électrique de $900/2785=0,323$, un peu meilleur que notre modèle : elle réchauffe son eau d'alimentation avec de la vapeur prélevée sur la turbine (ce qui relève ${\bar{T}}_c$), et sèche et resurchauffe la vapeur entre deux étages de détente (ce qui réduit $s_c$).

Le résultat établi — le théorème de Carnot rendu quantitatif. Pour une centrale à vapeur dont le condenseur est à $T_f$, le rendement vaut exactement $\eta =1-\frac{T_f}{{\bar{T}}_c}-\frac{T_f{s}_c}{q_c}$, où ${\bar{T}}_c=\frac{q_c}{s_3-s_2}$ est la température moyenne à laquelle le fluide reçoit la chaleur et $s_c⩾0$ l'entropie massique créée sur un tour. Le rendement est inférieur à $1-T_f/T_c$ pour deux raisons qu'on sait chiffrer : la chaleur entre au-dessous de $T_c$ (chauffage du liquide, ${\bar{T}}_c<T_c$), et chaque unité d'entropie créée coûte $T_f$ de travail. Pour la tranche : ${\bar{T}}_c=212{}^{\circ }\mathrm{C}$, ${\eta }_0=0,369$, $\eta =0,313$.

5) La centrale à flamme. L'eau primaire doit rester liquide pour bien refroidir le cœur : sous $155\mathrm{bar}$, elle bout à $345{}^{\circ }\mathrm{C}$, et l'on garde une marge ; à $323{}^{\circ }\mathrm{C}$ au plus, elle ne peut produire que de la vapeur saturante vers $270{}^{\circ }\mathrm{C}$, sans surchauffe. Pour la centrale au charbon : $w_p=1,0053\times 10^{-3}\times 164,95\times 10^5=16,6\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, $q_c=3475,8-137,7-16,6=3321,5\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, $${\bar{T}}_c=\frac{3321,5}{6,5137-0,4762}=550,1\mathrm{K}(277{}^{\circ }\mathrm{C}),{\eta }_0=1-\frac{306,02}{550,1}=0,444,$$ et $x_{4s}=(6,5137-0,4762)/7,9176=0,763$, contre $0,689$ : la vapeur, plus sèche, use moins les aubes des derniers étages. Avec $x_4=0,84$ : $s_4=7,1270$, $s_c=0,613$, $T_f{s}_c/q_c=0,057$ et $\eta =0,387$. La haute pression et la surchauffe relèvent ${\bar{T}}_c$ de $65\mathrm{K}$ ; tout ce qui monte ${\bar{T}}_c$ ou réduit $s_c$ améliore le cycle, et c'est le guide de toutes les améliorations des centrales.

6) Ordres de grandeur. $D_m=\frac{2785\times 10^6}{2646,5\times 10^3}=1052\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; puissance mécanique $D_m(834,7-5,5)=872\mathrm{MW}$ ; puissance rejetée $D_m(h_4-h_1)=1052\times 1817,3=1912\mathrm{MW}$ : les deux tiers de la chaleur du réacteur partent au condenseur. Une rivière échauffée de $10\mathrm{K}$ doit débiter $\frac{1,912\times 10^9}{4180\times 10}=46{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1}$, le débit d'étiage d'un grand fleuve ; un aéroréfrigérant évapore $\frac{1,912\times 10^9}{2,43\times 10^6}=787\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$, près de $0,8{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1}$. À la sortie de la turbine, la vapeur humide occupe $x_4{v}_v=0,75\times 28,19=21{\mathrm{m}}^3\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ : le débit volumique atteint $22000{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1}$, d'où les étages basse pression à plusieurs flux et aux aubes de près de deux mètres. Dans la tranche réelle, l'eau d'alimentation entre réchauffée vers $220{}^{\circ }\mathrm{C}$ : chaque kilogramme demande moins de chaleur, et le débit de vapeur atteint $1500\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$ environ.

Ce que le problème installe. Lire un cycle à vapeur sur le diagramme $(T,s)$ : sources et sens des échanges, sens horaire, pompe confondue avec la courbe d'ébullition, détente verticale ou déplacée vers la droite. Établir le théorème de Carnot sous forme d'égalité, $\eta =1-T_f/{\bar{T}}_c-T_f{s}_c/q_c$, en écrivant les deux bilans sur un tour et en changeant, sur les paliers, les entropies en énergies. Chiffrer les deux causes de l'écart (température moyenne de la chaleur reçue, entropie créée) et en tirer les leviers : surchauffe et pression pour ${\bar{T}}_c$, turbines plus sèches et mieux dessinées pour $s_c$.