Ce que disent homogénéité et isotropie

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition des moyennes (moyenne sur les molécules du gaz, à un instant donné), la linéarité de la moyenne ($⟨a+b⟩=⟨a⟩+⟨b⟩$, $⟨\lambda a⟩=\lambda ⟨a⟩$ pour une constante $\lambda$), et la définition $u^2=⟨v^2⟩$. La stratégie est d'utiliser les symétries de la distribution avant tout calcul : elles imposent des égalités sans qu'on connaisse la distribution.

1) Ce que donne l'isotropie. Dire qu'aucune direction n'est privilégiée, c'est dire que la distribution des vecteurs vitesse est invariante par toute rotation (et par symétrie par rapport à un plan) : la proportion de molécules dont la vitesse pointe dans un petit cône autour d'une direction est la même pour toutes les directions.

La vitesse moyenne est nulle. Le retournement $\overrightarrow{v}\mapsto -\overrightarrow{v}$ est une telle symétrie : il y a autant de molécules de vitesse $\overrightarrow{v}$ que de molécules de vitesse $-\overrightarrow{v}$. Donc $⟨\overrightarrow{v}⟩=⟨-\overrightarrow{v}⟩=-⟨\overrightarrow{v}⟩$, d'où $⟨\overrightarrow{v}⟩=\overrightarrow{0}$. Sinon, le gaz s'écoulerait en bloc.

Les trois composantes quadratiques sont égales. Une rotation d'un quart de tour autour de l'axe $z$ échange les rôles de $x$ et de $y$ ; la distribution étant invariante, $⟨v_x^2⟩=⟨v_y^2⟩$, et de même avec $z$. Or, par le théorème de Pythagore, $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$ pour chaque molécule, donc par linéarité $$u^2=⟨v^2⟩=⟨v_x^2⟩+⟨v_y^2⟩+⟨v_z^2⟩=3⟨v_x^2⟩,\text{soit}⟨v_x^2⟩=\frac{u^2}{3}.$$

Les deux moyennes de $v_x$. La symétrie $v_x\mapsto -v_x$ (par rapport au plan $yOz$) donne $⟨v_x⟩=0$ : c'est la composante selon $x$ de $⟨\overrightarrow{v}⟩=\overrightarrow{0}$. En revanche $|v_x|$ est positif ou nul pour chaque molécule, et une moyenne de quantités positives n'est nulle que si toutes le sont ; or toutes les molécules ne se déplacent pas parallèlement au plan $yOz$. Donc $⟨|v_x|⟩>0$. Le point délicat : la moyenne d'une grandeur algébrique peut s'annuler par compensation, la moyenne d'une grandeur positive ne le peut pas. C'est pourquoi l'agitation se mesure par $u$ et non par $⟨\overrightarrow{v}⟩$.

2) Moyenne et moyenne quadratique. La somme des dix vitesses vaut $5000\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, donc $⟨v⟩=500\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. La somme de leurs carrés vaut $2,86\times 10^6{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}$, donc $⟨v^2⟩=2,86\times 10^5{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}$ et $$u=\sqrt{2,86\times 10^5}\approx 535\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Pour l'identité, on développe le carré et on utilise la linéarité, en prenant garde que $⟨v⟩$ est une constante (le même nombre pour toutes les molécules) : $$⟨(v-⟨v⟩{)}^2⟩=⟨v^2⟩-2⟨v⟩⟨v⟩+⟨v{⟩}^2=u^2-⟨v{⟩}^2.$$ Le membre de gauche est la moyenne d'un carré, donc positif ou nul : $u^2\ge ⟨v{⟩}^2$, et comme les deux vitesses sont positives, $u\ge ⟨v⟩$. L'égalité a lieu si et seulement si $(v-⟨v⟩{)}^2$ est nul pour toutes les molécules, c'est-à-dire si toutes les molécules ont la même norme de vitesse. Ici, $u^2-⟨v{⟩}^2=2,86\times 10^5-2,50\times 10^5=3,6\times 10^4{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}$ : c'est la variance de l'échantillon, et son écart type vaut $190\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. L'écart entre $u$ et $⟨v⟩$ mesure la dispersion des vitesses.

3) La distribution de Maxwell. Le rapport ne dépend ni du gaz ni de la température : $$\frac{u}{⟨v⟩}=\sqrt{\frac{3k_{B}T/m}{8k_{B}T/(\pi m)}}=\sqrt{\frac{3\pi }{8}}\approx 1,085.$$ Pour le diazote, $k_B/m=R/M$, donc $u=\sqrt{3RT/M}=\sqrt{3\times 8,314\times 300/0,028}\approx 517\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $⟨v⟩=u/1,085\approx 476\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Les deux vitesses diffèrent de $8\%$ : on peut les confondre pour un ordre de grandeur, mais une pression ou une énergie fait intervenir $v^2$, donc $u$.

4) Le gaz dans le wagon. Dans le référentiel du wagon, le gaz est au repos et la question 1 s'applique : $⟨\overrightarrow{v}⟩=\overrightarrow{0}$. Par la composition galiléenne des vitesses (translation rectiligne uniforme), la vitesse d'une molécule dans le référentiel du sol est ${\overrightarrow{v}}^{\prime }=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{V}$. Par linéarité, $⟨{\overrightarrow{v}}^{\prime }⟩=⟨\overrightarrow{v}⟩+\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}$ : le gaz se déplace en bloc à la vitesse du wagon, ce qui est la moindre des choses. Pour la moyenne quadratique, on développe : $$⟨v^{\prime 2}⟩=⟨(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{V}{)}^2⟩=⟨v^2⟩+2\overrightarrow{V}\cdot ⟨\overrightarrow{v}⟩+V^2=u^2+V^2,$$ le terme croisé s'annulant parce que $⟨\overrightarrow{v}⟩=\overrightarrow{0}$ dans le référentiel du wagon. Numériquement $V=300/3,6=83,3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $u_{\mathrm{sol}}=\sqrt{517^2+83,3^2}\approx 524\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. La « température » qu'on en tirerait vaut $$T_{\mathrm{app}}=\frac{M{u}_{\mathrm{sol}}^2}{3R}=\frac{0,028\times 524^2}{3\times 8,314}\approx 308\mathrm{K}.$$ C'est absurde : un thermomètre posé dans le wagon indique $300\mathrm{K}$, que le train roule ou non. Le mouvement d'ensemble, ordonné, n'est pas de l'agitation.

Conclusion. La température cinétique se définit dans le référentiel où le gaz est globalement au repos, celui où $⟨\overrightarrow{v}⟩=\overrightarrow{0}$ (le référentiel barycentrique du gaz). L'énergie cinétique des molécules se partage alors en deux : l'énergie cinétique macroscopique du mouvement d'ensemble, $\frac{1}{2}{m}_{\mathrm{tot}}{V}^2$, et l'énergie d'agitation désordonnée, seule comptée dans l'énergie interne et seule liée à la température.

Ce que l'exercice installe. Les symétries d'une distribution donnent des résultats exacts sans calcul : c'est la façon de travailler de toute la physique statistique. Et la distinction entre mouvement d'ensemble et agitation prépare la définition de l'énergie interne comme énergie microscopique, mesurée dans le référentiel où le système est au repos ; on la retrouvera dans l'énergie totale $E=E_{\mathrm{c},\mathrm{macro}}+E_{\mathrm{p},\mathrm{macro}}+U$ du premier principe.