Deux ballons reliés, l'un chauffé

1) Système et contraintes. Système : tout l'air contenu dans les deux ballons et le tube. C'est un système fermé (les ballons sont étanches ; de l'air passe d'un ballon à l'autre, mais reste dans le système), de volume total fixé, qui échange de l'énergie avec les deux bains : il n'est pas isolé. Dans l'état final :

• la température de chaque ballon est imposée par son bain : $T_1$ dans le ballon 1, $T_0$ dans le ballon 2 (parois diathermes, équilibre thermique de chaque ballon avec son bain) ;
• les volumes sont imposés par les parois rigides ;
• la quantité de matière totale est conservée : $n_1+n_2=n_0$ ;
• la pression est commune : l'air du tube est immobile dans l'état final ; s'il existait une différence de pression entre les deux extrémités, elle mettrait l'air du tube en mouvement. L'équilibre mécanique impose donc la même pression $P$ dans les deux ballons (la pesanteur est négligée).

L'état final n'est pas un équilibre thermodynamique du système entier : la température n'y est pas uniforme, et de l'énergie traverse en permanence le système de l'eau bouillante vers le bain froid (par le tube, très peu, puisqu'il est fin). C'est un régime stationnaire. Chaque ballon, lui, est à l'équilibre, et c'est ce qui permet d'écrire l'équation d'état ballon par ballon. Le gaz du tube, de volume négligeable, ne compte pas.

2) La pression finale. Initialement $n_0=\frac{P_0(V_1+V_2)}{R{T}_0}$. Dans l'état final, $n_1=\frac{P{V}_1}{R{T}_1}$ et $n_2=\frac{P{V}_2}{R{T}_0}$. La conservation de la matière s'écrit

$$\frac{P_0(V_1+V_2)}{T_0}=P\left(\frac{V_1}{T_1}+\frac{V_2}{T_0}\right),\text{d’ouˋ}P=P_0\frac{(V_1+V_2)/T_0}{V_1/T_1+V_2/T_0}.$$

Numériquement $P=1,0\times \frac{3,0/293}{1,0/373+2,0/293}\approx 1,077\mathrm{bar}$. Vérification de signe : $T_1>T_0$ donne $V_1/T_1<V_1/T_0$, donc $P>P_0$ : chauffer augmente la pression, comme attendu.

3) La fraction qui a migré. Dans le ballon 1, la quantité de matière passe de $n_{1,i}=P_0{V}_1/(R{T}_0)$ à $n_{1,f}=P{V}_1/(R{T}_1)$. La fraction partie vaut

$$\begin{array}{rl}1-\frac{n_{1,f}}{n_{1,i}}& =1-\frac{P}{P_0}\frac{T_0}{T_1}\\ & =1-1,077\times \frac{293}{373}\approx 0,154,\end{array}$$

soit $15\%$ de l'air du ballon chauffé, chassé vers le ballon froid.

4) Les cas limites. Si $V_2\to 0$, $P\to P_0{T}_1/T_0=1,273\mathrm{bar}$ : il n'y a plus de second ballon, l'air du ballon 1 est chauffé à volume et quantité constants, et l'on retrouve la loi isochore $P/T=\text{cte}$. Si $V_2\to \infty$, $P\to P_0$ : le ballon 2 est un réservoir de pression, il absorbe l'air expulsé sans que sa pression change, et le ballon 1 chauffé se vide partiellement à pression constante ($n_1$ est alors multiplié par $T_0/T_1$). Les deux limites sont les deux transformations élémentaires, isochore et isobare, du ballon 1 ; le cas réel est entre les deux, et la formule le dit : $P_0<P<P_0{T}_1/T_0$.

5) Le volume mort. Dérivons $P(T_1)$ : avec $D=V_1/T_1+V_2/T_0$, $\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}{T}_1}=P_0\frac{V_1+V_2}{T_0}\cdot \frac{V_1/T_1^2}{D^2}$, qui vaut en $T_1=T_0$ (où $D=(V_1+V_2)/T_0$)

$${\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}{T}_1}|}_{T_1=T_0}=\frac{P_0}{T_0}\frac{V_1}{V_1+V_2}.$$

Pour $V_2=2V_1$, la sensibilité est $1,1\times 10^{-3}\mathrm{bar}{\mathrm{K}}^{-1}$, trois fois moins que celle d'un thermomètre sans volume mort, $P_0/T_0=3,4\times 10^{-3}\mathrm{bar}{\mathrm{K}}^{-1}$. Le volume mort réduit la sensibilité d'un facteur $V_1/(V_1+V_2)$ ; pire, il rend la mesure dépendante de la température ambiante, qui fixe $T_0$. On le veut donc petit devant le volume de la sonde.

Ce que l'exercice installe. Avant tout calcul, définir le système et dire ce que l'extérieur impose dans l'état final — ici trois contraintes (températures, volumes, pression commune) et une conservation. Distinguer un état d'équilibre d'un régime stationnaire. Et vérifier une formule par ses cas limites : chacun doit redonner une situation qu'on sait traiter autrement.