Dulong et Petit ; l'océan et l'atmosphère

1) Les capacités molaires. En multipliant $c$ par $M$ (en $\mathrm{kg}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$) :

Les cinq valeurs sont à moins de $8\%$ de $3R=24,9\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ : la loi de Dulong et Petit est bien vérifiée. Les capacités massiques, elles, vont de $129$ à $897\mathrm{J}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$, parce qu'un kilogramme de plomb contient sept fois moins d'atomes qu'un kilogramme d'aluminium ($M$ est sept fois plus grande). La loi dit que ce qui compte pour stocker de l'énergie thermique dans un solide, c'est le nombre d'atomes, chacun prenant en moyenne la même part, $3k_B$ par kelvin.

2) L'or. Si $C_m\approx 3R$, alors $c_{\mathrm{Au}}\approx \frac{3R}{M}=\frac{24,9}{0,19697}\approx 127\mathrm{J}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$. La valeur tabulée est $129\mathrm{J}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$ : une loi empirique simple prévoit la capacité massique d'un métal à $2\%$ près, sans mesure.

3) L'eau. $C_m=4180\times 0,0180\approx 75,2\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$, soit $9,0R$, c'est-à-dire $3R$ par atome pour une molécule qui en compte trois. Le rapprochement est suggestif, sans être une loi (l'eau liquide n'est pas un solide). Ce qu'on retient, c'est la valeur : la capacité thermique massique de l'eau, $4,18\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$, est exceptionnellement élevée, de cinq à plus de trente fois celle des métaux du tableau, parce que ses molécules sont légères (beaucoup de molécules par kilogramme) et stockent beaucoup d'énergie chacune.

4) L'océan et l'atmosphère. La colonne d'air au-dessus d'un mètre carré a une masse $m=P_0/g=1,013\times 10^5/9,81\approx 1,03\times 10^4\mathrm{kg}$ — dix tonnes. Sa capacité thermique vaut $m{c}_{\mathrm{air}}\approx 1,03\times 10^7\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}$. Une hauteur $h$ d'eau sur un mètre carré a pour capacité ${\rho }_{\mathrm{eau}}h{c}_{\mathrm{eau}}$, avec ${\rho }_{\mathrm{eau}}{c}_{\mathrm{eau}}=4,18\times 10^6\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}{\mathrm{m}}^{-3}$. L'égalité donne $$h=\frac{P_0{c}_{\mathrm{air}}}{g{\rho }_{\mathrm{eau}}{c}_{\mathrm{eau}}}\approx \frac{1,03\times 10^7}{4,18\times 10^6}\approx 2,5\mathrm{m}.$$ Deux mètres et demi d'eau ont la capacité thermique de toute l'atmosphère qui les surmonte. Or l'océan couvre plus des deux tiers du globe, et sa couche de surface, brassée par les vents, est épaisse de plusieurs dizaines de mètres. C'est donc l'océan, et non l'air, qui stocke l'essentiel de l'énergie thermique échangée au fil des saisons, et qui amortit les variations de température (climats océaniques doux).

5) Le litre d'eau et le mètre cube d'air. Un litre d'eau : $Q=mc\Delta T=1,0\times 4180\times 1=4180\mathrm{J}$. Un mètre cube d'air à volume constant : $\Delta U=\rho V{c}_V\Delta T=1,2\times 718\times 1\approx 862\mathrm{J}$. Le litre d'eau demande près de cinq fois plus d'énergie que mille litres d'air. C'est pourquoi un chauffage central transporte la chaleur avec de l'eau.

Ce que l'exercice installe. Raisonner en capacité molaire pour comprendre (le nombre de particules commande), en capacité massique ou volumique pour calculer. Et deux ordres de grandeur qui servent toute l'année : $c_{\mathrm{eau}}=4,18\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$, et $C_m\approx 3R$ pour un solide à l'ambiante.