Séparer les isotopes de l'uranium

1) Même température, même énergie cinétique moyenne. Le mélange est à l'équilibre thermique : ses deux constituants ont la même température, et la température cinétique est la même fonction de l'énergie cinétique moyenne de translation pour toutes les espèces, $\frac{1}{2}{m}_i{u}_i^2=\frac{3}{2}{k}_{B}T$. Donc $m_{235}{u}_{235}^2=m_{238}{u}_{238}^2$, et comme les masses moléculaires sont proportionnelles aux masses molaires,

$$\begin{array}{rl}\frac{u_{235}}{u_{238}}& =\sqrt{\frac{M_{238}}{M_{235}}}\\ & =\sqrt{\frac{352,0}{349,0}}\approx 1,0043.\end{array}$$

Les molécules légères vont plus vite de $0,43\%$ seulement. Ordre de grandeur : $u=\sqrt{3RT/M}=\sqrt{3\times 8,314\times 300/0,352}\approx 146\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, trois fois et demie moins que le diazote — c'est une molécule très lourde.

2) Un étage. Par hypothèse, le flux de chaque espèce à travers la paroi est proportionnel à $n_i^{\ast }⟨v_i⟩$. Le rapport des abondances dans le gaz qui a traversé est donc

$$r^{\prime }=\frac{n_{235}^{\ast }⟨v_{235}⟩}{n_{238}^{\ast }⟨v_{238}⟩}=r\frac{⟨v_{235}⟩}{⟨v_{238}⟩}=\alpha r,\alpha =\sqrt{\frac{M_{238}}{M_{235}}}\approx 1,0043.$$

On raisonne sur le rapport $r$ et non sur la fraction $x_{235}$, parce que c'est lui qui est multiplié par un facteur constant à chaque étage.

3) La cascade. Après $k$ étages idéaux, $r_k={\alpha }^k{r}_0$. Les rapports initial et final valent $r_0=\frac{0,0072}{0,9928}=7,25\times 10^{-3}$ et $r_f=\frac{0,035}{0,965}=3,63\times 10^{-2}$, soit un facteur $5,0$. Donc

$$k=\frac{\ln (r_f/r_0)}{\ln \alpha }=\frac{\ln 5,0}{\ln 1,0043}\approx 376.$$

Pourquoi davantage en réalité. Le facteur $\alpha$ est un maximum : il suppose que la paroi ne laisse passer qu'une fraction infime du gaz, sans quoi le gaz amont s'appauvrit en isotope léger pendant l'opération ; une barrière réelle n'atteint qu'une partie de l'effet idéal, et il faut aussi des étages pour épuiser le flux appauvri. Les usines de diffusion gazeuse alignaient ainsi de l'ordre du millier d'étages, chacun avec son compresseur : de très grosses consommatrices d'électricité, que la centrifugation, beaucoup plus économe, a remplacées.

4) Le choix de la molécule. La séparation repose entièrement sur la différence de masse entre les deux molécules. Avec le fluor, isotope unique, deux molécules ne diffèrent que par leur atome d'uranium : la différence de masse ($3\mathrm{g}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$) signe l'isotope. Avec le chlore, une molécule ${}^{235}\mathrm{U}{}^{37}{\mathrm{Cl}}_x$ pourrait être plus lourde qu'une molécule ${}^{238}\mathrm{U}{}^{35}{\mathrm{Cl}}_x$ : les masses des différentes combinaisons se chevaucheraient et la séparation par la masse ne trierait plus l'uranium. Quant à la vapeur d'uranium, le facteur serait meilleur, $\sqrt{238/235}\approx 1,0064$, mais l'uranium métallique ne se vaporise qu'à des milliers de kelvins : la diffusion exige un gaz à température modérée, et $\mathrm{U}{\mathrm{F}}_6$ en est un (il se sublime vers $56{}^{\circ }\mathrm{C}$ sous la pression atmosphérique).

Ce que l'exercice installe. À l'équilibre thermique, ce qui est commun aux espèces d'un mélange, c'est l'énergie d'agitation par molécule, pas la vitesse : $u\propto 1/\sqrt{M}$. Et l'ordre de grandeur commande la technique — un écart de $0,43\%$ par étage se paie en centaines d'étages, et la cascade se compte avec un logarithme.