La montgolfière — exercice corrigé de thermodynamique et statique des fluides (PCSI) (chapitre 8)

La montgolfière

Statique des fluides dans un référentiel galiléen · niveau 2

Énoncé

Une montgolfière de volume $V = 2000 m^{3}$ contient de l'air chauffé. L'air extérieur, à $T_{0} = 288 K$ , a pour masse volumique $ρ_{0} = 1.20 kg / m^{3}$ ; l'enveloppe, le brûleur et la nacelle (hors air chaud) ont une masse $m = 400 kg$ . L'enveloppe est ouverte à sa base : l'air chaud est à la pression de l'air extérieur.

Exprimer la force ascensionnelle nette en fonction de $ρ_{0}$ , de la masse volumique $ρ_{c}$ de l'air chaud, de $V$ et de $m$ .
Quelle masse volumique maximale $ρ_{c}$ permet le décollage ?
À quelle température faut-il chauffer l'air (gaz parfait, même pression et même masse molaire qu'à l'extérieur) ?

Corrigé

1. Le système est le ballon : enveloppe, nacelle et air chaud. Il subit la poussée d'Archimède, poids de l'air extérieur déplacé, et son poids : $F_{net} = pouss e ˊ e ρ_{0} V g - poids (m + ρ_{c} V) g = [(ρ_{0} - ρ_{c}) V - m] g$ .

2. Décollage si $F_{net} \geq 0$ : $(ρ_{0} - ρ_{c}) V \geq m$ , soit $ρ_{c} \leq ρ_{0} - \frac{m}{V} = 1, 20 - \frac{400}{2000} = 1.00 kg / m^{3}$ .

3. Pour un gaz parfait, $ρ = \frac{P M}{R T}$ : à $P$ et $M$ fixés, $ρT$ est constant. D'où $T_{c} = T_{0} \frac{ρ _{0}}{ρ _{c}} = 288 \times \frac{1 , 20}{1 , 00} \approx 346 K$ , soit environ $73° C$ : il faut chauffer l'air d'une soixantaine de kelvins au-dessus de l'air ambiant ( $15° C$ ). Les montgolfières volent avec un air intérieur vers $100° C$ : la marge sert à emporter des passagers.