La vanne-segment : une paroi courbe dont le moment est nul

La stratégie. Avant tout calcul, on regarde la géométrie des forces élémentaires : elle donne la direction de la résultante et son moment. On choisit ensuite la surface élémentaire adaptée à un cylindre, une bande d'angle $\mathrm{d}\theta$, et l'on projette avant d'intégrer. Enfin on retrouve le résultat sans intégrale, par la méthode du cours sur la résultante des forces de pression sur une paroi courbe : projection et fluide fictif.

1) Symétries. On place l'origine en $O$, l'axe $Ox$ horizontal vers l'aval, l'axe $Oz$ vertical ascendant ; alors $A=(-R,0)$, $B=(0,-R)$ et $M=(-R\cos \theta ,-R\sin \theta )$. La force pressante est normale à la paroi, et la normale à un cercle est radiale : chaque force élémentaire est portée par la droite $(OM)$, qui passe par l'axe. L'eau, du côté convexe, pousse la paroi vers $O$. Une force dont la droite d'action coupe $\Delta$ a un moment nul par rapport à $\Delta$ ; la somme de moments nuls est nulle : le moment résultant par rapport à $\Delta$ est nul, et la résultante, si on la place sur sa droite d'action, passe par l'axe. Enfin, toutes les forces élémentaires sont dans des plans orthogonaux à $\Delta$ (la normale à un cylindre n'a pas de composante selon son axe) : la résultante est orthogonale à $\Delta$. Les extrémités de la vanne (les flasques) sont hors d'eau ou étanchées contre les bajoyers : on ne les compte pas.

2) Le calcul. La bande de paroi d'angle $\mathrm{d}\theta$ a pour largeur $R\mathrm{d}\theta$ et pour longueur $L$ : $\mathrm{d}S=RL\mathrm{d}\theta$. Le point $M$ est à la profondeur $R\sin \theta$ : la pression au-delà de l'atmosphère y vaut $p=\rho gR\sin \theta$ (l'air s'exerce aussi sur la face sèche, et se compense). La force élémentaire, dirigée de $M$ vers $O$, vaut $$\mathrm{d}\overrightarrow{F}=\rho gR\sin \theta \cdot RL\mathrm{d}\theta (\cos \theta {\overrightarrow{u}}_x+\sin \theta {\overrightarrow{u}}_z).$$ On projette, puis on intègre : $$F_x=\rho g{R}^{2}L{\int }_0^{\pi /2}\sin \theta \cos \theta \mathrm{d}\theta =\frac{1}{2}\rho gL{R}^2,F_z=\rho g{R}^{2}L{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^2\theta \mathrm{d}\theta =\frac{\pi }{4}\rho gL{R}^2.$$ $F_x>0$ : vers l'aval ; $F_z>0$ : vers le haut. L'eau, sous la paroi et en amont, la pousse vers l'aval et la soulève.

Le point délicat. On ne somme jamais des normes de forces qui n'ont pas la même direction : on projette $\mathrm{d}\overrightarrow{F}$ sur des axes fixes, et seulement ensuite on intègre. Projeter sur ${\overrightarrow{u}}_r$, qui tourne avec $M$, n'aurait aucun sens.

3) Sans intégrale. Composante horizontale. $\mathrm{d}{F}_x=p\mathrm{d}S\cos \theta$, et $\mathrm{d}S\cos \theta =RL\cos \theta \mathrm{d}\theta =L\mathrm{d}(R\sin \theta )$ est l'aire de la projection de la bande sur un plan vertical : une bande horizontale de hauteur $\mathrm{d}(R\sin \theta )$, à la même profondeur, donc à la même pression. $F_x$ est donc la force sur le rectangle vertical de hauteur $R$ et de longueur $L$, celle d'un petit barrage : $\frac{1}{2}\rho gL{R}^2$, appliquée au tiers de la hauteur.

Composante verticale : le fluide fictif. Imaginons le quart de disque $OAB$ rempli d'eau au repos, en continuité avec l'eau réelle, et isolons cette eau fictive. Elle est en équilibre sous : son poids $\rho g\frac{\pi R^2}{4}L$ vers le bas ; la pression atmosphérique sur sa face supérieure $OA$, à la surface libre (nulle au-delà de l'atmosphère) ; les forces de pression sur la face verticale $OB$, horizontales ; et les forces de pression exercées par l'eau réelle à travers l'arc $AB$. Ces dernières sont les mêmes que sur la vanne, car elles ne dépendent que de la forme de la surface et du champ de pression, inchangé. La projection verticale de l'équilibre donne : la composante verticale de la force de l'eau sur l'arc vaut le poids de l'eau fictive, vers le haut, $$F_z=\rho g\frac{\pi R^2}{4}L,$$ le résultat de l'intégrale, sans intégrale. La projection horizontale redonne $F_x$ : elle équilibre la force sur la face verticale $OB$, qui est la projection de l'arc.

4) Les nombres. $$F_x=\frac{1}{2}\times 1000\times 9,81\times 12\times 6,0^2\approx 2,12\times 10^6\mathrm{N},$$ $$F_z=\frac{\pi }{4}\times 1000\times 9,81\times 12\times 6,0^2\approx 3,33\times 10^6\mathrm{N},$$ $F=\sqrt{F_x^2+F_z^2}\approx 3,95\times 10^6\mathrm{N}$, le poids de $400\mathrm{t}$, incliné de $\arctan (F_z/F_x)=\arctan (\pi /2)\approx 57,5^{\circ }$ au-dessus de l'horizontale, et dirigé vers l'axe. Une vanne plane verticale de même hauteur subit la force horizontale $F_x$ ; plaquée contre ses rainures, elle oppose au levage un frottement $0,3\times 2,12\times 10^6\approx 6,4\times 10^5\mathrm{N}$, le poids de $65\mathrm{t}$, qui s'ajoute à son poids. La vanne-segment, elle, tourne autour de $\Delta$ : la poussée de l'eau, qui passe par l'axe, n'a aucun moment qui s'oppose à la rotation. Il ne reste à vaincre que le moment du poids de la vanne, souvent compensé par des contrepoids, et le frottement dans les paliers de l'axe, faible parce que son bras de levier est le rayon du tourillon, quelques centimètres, et non le rayon de la vanne. C'est tout l'intérêt de la forme : quatre cents tonnes de poussée, encaissées par l'axe, et une manœuvre légère, possible même sous pleine charge.

5) L'eau du côté concave. L'eau remplit maintenant le quart de disque : en $M$, elle pousse la paroi vers l'extérieur, $\mathrm{d}\overrightarrow{F}$ change de signe, avec la même norme. Donc $F_x=-\frac{1}{2}\rho gL{R}^2$ (vers l'amont) et $F_z=-\frac{\pi }{4}\rho gL{R}^2$ (vers le bas). Le fluide fictif n'est plus fictif : c'est l'eau réelle qui occupe le quart de disque, au-dessus de la paroi, et la paroi porte son poids. La règle générale : la composante verticale est le poids de l'eau, réelle ou fictive, comprise entre la paroi et le plan de la surface libre ; elle est dirigée vers le bas si l'eau est au-dessus de la paroi, vers le haut si elle est au-dessous. Le moment par rapport à $\Delta$ reste nul : les forces sont toujours radiales.

Ce que l'exercice installe. Les symétries avant le calcul : la direction des forces élémentaires donne, sans intégrale, le moment et la direction de la résultante. La surface élémentaire se choisit dans les coordonnées de la paroi ($\mathrm{d}S=RL\mathrm{d}\theta$) ; on projette sur des axes fixes avant d'intégrer. La composante horizontale est la force sur la projection verticale ; la composante verticale est le poids d'un fluide, réel ou fictif : c'est l'argument du théorème d'Archimède. Ce réflexe « symétries d'abord » sera celui de tout l'électromagnétisme.