Le ballon-sonde : dilatable ou pressurisé

La stratégie. On commence par justifier le théorème d'Archimède dans un fluide inhomogène, par l'argument du fluide fictif. Puis le système est le ballon (enveloppe, nacelle et gaz) : il subit son poids et la poussée, et l'on étudie comment chacun varie avec l'altitude, à quantité de gaz fixée pour le ballon dilatable, à volume fixé pour le ballon pressurisé.

1) L'origine de la poussée. Remplaçons par la pensée le ballon par de l'air identique à celui qui l'entoure, avec sa masse volumique $\rho (z)$ variable. Cet air fictif est au repos, comme le reste de l'atmosphère : il est en équilibre sous son poids $\overrightarrow{g}\int \rho (z)\mathrm{d}\tau$ et les forces de pression exercées par l'air extérieur sur sa surface. Ces forces ne dépendent que de la forme de la surface et du champ de pression : ce sont les mêmes que sur le ballon. Leur résultante vaut donc $$\overrightarrow{\Pi }=-\overrightarrow{g}{\int }_V\rho (z)\mathrm{d}\tau ,$$ l'opposé du poids de l'air déplacé, quelle que soit la façon dont $\rho$ varie. L'argument n'utilisait que l'équilibre du fluide. Sur la hauteur du ballon, $\Delta \rho /\rho \approx D/H=2/8420\approx 2,4\times 10^{-4}$ : en pratique, $\rho$ est uniforme à l'échelle du ballon.

2) Le ballon au sol. $V_0=\frac{\pi D_0^3}{6}\approx 4,19{\mathrm{m}}^3$. Hélium à $P_0$ et $T_0$ : $$n=\frac{P_0{V}_0}{R{T}_0}=\frac{1,013\times 10^5\times 4,19}{8,314\times 288}\approx 177\mathrm{mol},$$ soit $n{M}_{\mathrm{He}}\approx 0,71\mathrm{kg}$ d'hélium. L'air déplacé occupe le même volume à la même pression et à la même température : il contient le même nombre de moles, de masse $n{M}_{\text{air}}\approx 5,14\mathrm{kg}$. Force ascensionnelle nette : $$F=(n{M}_{\text{air}}-n{M}_{\mathrm{He}}-m)g=(5,14-0,71-1,5)\times 9,81\approx 28,7\mathrm{N},$$ le poids de $2,9\mathrm{kg}$.

3) Une force indépendante de l'altitude. À toute altitude, l'hélium est à la pression $P$ et à la température $T$ de l'air : $V=nRT/P$, et l'air déplacé, à ces mêmes $P$ et $T$, contient $n$ moles. La poussée vaut $n{M}_{\text{air}}g$, le poids $(n{M}_{\mathrm{He}}+m)g$ : $$F=[n(M_{\text{air}}-M_{\mathrm{He}})-m]g,$$ qui ne contient ni $P$, ni $T$, ni $z$. La force est la même à toute altitude, quel que soit le profil $T(z)$ : en montant, le ballon gonfle exactement de quoi compenser la raréfaction de l'air. Ce qui limite la vitesse de montée, c'est la traînée de l'air, qui croît avec la vitesse : le ballon atteint une vitesse limite (de l'ordre de $5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ en pratique). Rien n'arrête la montée, sinon l'éclatement de l'enveloppe.

4) L'éclatement. a) Le volume est multiplié par $(8,0/2,0{)}^3=64$. À température constante, $V\propto 1/P$ : $P=P_0/64\approx 15,8\mathrm{hPa}$, atteint à $$z=H\ln 64\approx 8,42\times 4,16\approx 35,0\mathrm{km}.$$

b) En général, $V=nRT/P$, donc $\frac{V}{V_0}=\frac{T}{T_0}\frac{P_0}{P}$. L'éclatement a lieu quand $$P_{\text{ecl}}=\frac{P_0}{64}\frac{T}{T_0}=\frac{1013}{64}\times \frac{226}{288}\approx 12,4\mathrm{hPa}.$$ Premier effet : dans l'air froid, l'hélium est moins dilaté ; il faut une pression plus basse pour atteindre le volume d'éclatement, ce qui pousse l'éclatement plus haut. Second effet : dans un air froid, plus dense, la pression décroît plus vite avec l'altitude (hauteur caractéristique plus petite), ce qui fait atteindre une pression donnée plus bas. Seul le calcul tranche.

c) L'équation $\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}=-\frac{M_{\text{air}}gP}{RT(z)}$, avec $T$ affine en $z$, se sépare comme dans la troposphère : $$\frac{\mathrm{d}P}{P}=-\frac{M_{\text{air}}g}{R{\Gamma }^{\prime }}\frac{\mathrm{d}T}{T}⟹P(z)=P(20\mathrm{km})(\frac{T(z)}{216,65\mathrm{K}}{)}^{-\beta },\beta =\frac{M_{\text{air}}g}{R{\Gamma }^{\prime }}\approx 34,2.$$ La pression décroît en suivant une puissance de la température, ici avec un exposant négatif puisque $T$ croît. L'éclatement se produit quand $P(z)=\frac{P_0}{64}\frac{T(z)}{T_0}$, équation qu'on résout par essais (ou numériquement) : à $30\mathrm{km}$, $T=226,65\mathrm{K}$, $P\approx 11,6\mathrm{hPa}$, déjà sous la pression d'éclatement ($12,5\mathrm{hPa}$ à cette température) ; à $29\mathrm{km}$, $P\approx 13,5\mathrm{hPa}$ est encore au-dessus ($12,4\mathrm{hPa}$). La solution est $$z_{\text{ecl}}\approx 29,6\mathrm{km},T\approx 226\mathrm{K},P\approx 12,4\mathrm{hPa},$$ cohérente avec l'hypothèse de la question b). L'éclatement survient plus bas que dans le modèle isotherme ($35\mathrm{km}$) : le second effet l'emporte, parce que toute la colonne d'air sous le ballon est froide, ce qui abaisse la pression à toutes les altitudes, alors que le premier effet ne joue que sur un facteur $T/T_0=0,78$. La valeur obtenue tombe dans la fourchette observée.

5) Le ballon pressurisé. Le volume est fixé, la poussée vaut $\rho (z)Vg$ : elle diminue quand le ballon monte. Dans le modèle isotherme, $\rho (z)=\rho (0)e^{-z/H}$ avec $\rho (0)=\frac{P_0{M}_{\text{air}}}{R{T}_0}\approx 1,23\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$. L'équilibre exige $\rho (z_e)V=m_t$ : $$z_e=H\ln \frac{\rho (0)V}{m_t}=8,42\times \ln \frac{1,23\times 120}{22}\approx 8,42\times 1,90\approx 16,0\mathrm{km}.$$ Stabilité. Si le ballon monte au-dessus de $z_e$, l'air y est moins dense, la poussée devient inférieure au poids : il redescend. S'il descend, la poussée l'emporte : il remonte. L'équilibre est stable. Petits mouvements. Avec $z=z_e+\delta z$, le principe fondamental de la dynamique s'écrit $$m_t\ddot{\delta z}=\rho (0)e^{-(z_e+\delta z)/H}Vg-m_{t}g=m_{t}g(e^{-\delta z/H}-1)\approx -\frac{m_{t}g}{H}\delta z,$$ l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation $\omega =\sqrt{g/H}$ et de période $$T_{\text{osc}}=2\pi \sqrt{\frac{H}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{8420}{9,81}}\approx 184\mathrm{s}\approx 3\min .$$ La période ne dépend ni de la masse ni du volume du ballon, seulement de la hauteur caractéristique de l'atmosphère. (La traînée, négligée ici, amortit ces oscillations.) Le ballon se stabilise sur la surface où $\rho =m_t/V\approx 0,18\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$ et y reste, dérivant avec le vent à masse volumique constante : ces ballons servent à suivre les mouvements de l'air sur des semaines.

Ce que l'exercice installe. Le théorème d'Archimède vient de l'équilibre du fluide fictif, et vaut pour une masse volumique variable. Pour un ballon dilatable, poussée et volume varient ensemble : la force nette est constante, et c'est l'éclatement qui fixe l'altitude, avec deux effets opposés du froid départagés par le calcul. Pour un ballon pressurisé, la poussée décroît avec l'altitude : équilibre stable, petites oscillations de période $2\pi \sqrt{H/g}$. Linéariser autour d'un équilibre pour en tirer une pulsation, c'est la méthode qu'on reprendra pour tout oscillateur.