Le barrage-poids : force, centre de poussée, renversement

La stratégie. Le système est le barrage. Les forces qu'il subit : son poids, la poussée de l'eau sur le parement amont, la réaction du sol (normale et frottement), et, à la question 5, la sous-pression. La pression atmosphérique agit sur toute sa surface, fermée : sa résultante est nulle, et l'on ne garde que la pression de l'eau au-delà de $P_0$. La pression de l'eau varie avec la profondeur : on découpe le parement en bandes horizontales, de même profondeur, sur lesquelles elle est uniforme.

1) La force. La bande comprise entre les profondeurs $z$ et $z+\mathrm{d}z$ a pour aire $\mathrm{d}S=L\mathrm{d}z$ ; la pression de l'eau y vaut $P_0+{\rho }_{\mathrm{e}}gz$. Au-delà de l'atmosphère, la force élémentaire est horizontale, normale au parement, dirigée vers l'aval : $$\mathrm{d}F={\rho }_{\mathrm{e}}gzL\mathrm{d}z.$$ Toutes les forces élémentaires ont la même direction et le même sens : leurs normes s'ajoutent. $$F={\int }_0^H{\rho }_{\mathrm{e}}gzL\mathrm{d}z=\frac{1}{2}{\rho }_{\mathrm{e}}gL{H}^2=\frac{1}{2}\times 1000\times 9,81\times 200\times 100^2\approx 9,81\times 10^9\mathrm{N}.$$ C'est le poids d'une masse de $F/g=10^9\mathrm{kg}$, un million de tonnes, soit $4,9\times 10^7\mathrm{N}$ par mètre de barrage. Homogénéité : $\rho gH$ est une pression, $LH$ une aire. Le facteur $\frac{1}{2}$ dit que $F$ est la pression moyenne ${\rho }_{\mathrm{e}}gH/2$, celle de la mi-hauteur, multipliée par l'aire $LH$.

2) Le centre de poussée. La bande de profondeur $z$ est à la hauteur $H-z$ au-dessus de l'arête inférieure $O$ du parement ; sa force, horizontale, a par rapport à $O$ un moment de norme $(H-z)\mathrm{d}F$, et tous ces moments tendent à faire tourner le barrage dans le même sens (vers l'aval) : $$\Gamma ={\int }_0^H{\rho }_{\mathrm{e}}gLz(H-z)\mathrm{d}z={\rho }_{\mathrm{e}}gL(\frac{H^3}{2}-\frac{H^3}{3})=\frac{{\rho }_{\mathrm{e}}gL{H}^3}{6}\approx 3,27\times 10^{11}\mathrm{N}\mathrm{m}.$$ Le point d'application est le point du parement où une force unique $F$ aurait ce moment : à la hauteur $d$ telle que $Fd=\Gamma$, $$d=\frac{\Gamma }{F}=\frac{{\rho }_{\mathrm{e}}gL{H}^3/6}{{\rho }_{\mathrm{e}}gL{H}^2/2}=\frac{H}{3}\approx 33\mathrm{m}\text{au-dessus de la base}.$$ Ce n'est pas le milieu, parce que les bandes du bas poussent plus fort : la répartition de pression est un triangle (nulle en surface, maximale au fond), et le point d'application est au niveau du centre de ce triangle, au tiers de sa hauteur à partir de sa base.

Le point délicat. Le point d'application d'une force répartie ne se devine pas : il se calcule par le moment. L'intuition « au milieu » est juste pour une pression uniforme, fausse ici. Et le résultat $H/3$ suppose une pression relative nulle en surface : si une autre pression s'ajoutait uniformément (un couvercle sous pression), le centre de poussée remonterait vers le milieu.

3) Le paradoxe hydrostatique. L'équation locale dit que, dans un fluide continu au repos, la pression ne dépend que de la profondeur. Sur le parement, $P(z)=P_0+{\rho }_{\mathrm{e}}gz$ quelle que soit l'étendue de l'eau en amont : un lac de dix kilomètres ou un canal d'un mètre exercent la même force, à hauteur d'eau égale. Le volume retenu n'intervient pas ; il n'intervient que dans les conséquences d'une rupture.

4) Renversement et glissement. Les sommets du profil sont l'arête amont du pied $O$, l'arête aval $A$ (à la distance $b$ de $O$) et le sommet du parement. Le centre de masse est à la distance $b/3$ du parement amont, donc à $2b/3$ de l'arête aval, et à la hauteur $H/3$. Le poids vaut $W={\rho }_{\mathrm{b}}g\frac{bH}{2}L$.

Non-renversement. Au moment du basculement, le sol ne touche plus le barrage qu'en $A$ : sa réaction a un moment nul par rapport à $A$. Le poids tend à plaquer le barrage (moment $W\cdot \frac{2b}{3}$), l'eau à le renverser (moment $F\cdot \frac{H}{3}$, la poussée étant horizontale à la hauteur $H/3$). Le barrage tient si $${\rho }_{\mathrm{b}}g\frac{bH}{2}L\cdot \frac{2b}{3}\ge \frac{1}{2}{\rho }_{\mathrm{e}}gL{H}^2\cdot \frac{H}{3}⟺\frac{b^2}{H^2}\ge \frac{{\rho }_{\mathrm{e}}}{2{\rho }_{\mathrm{b}}},$$ soit $b/H\ge \sqrt{1000/4800}\approx 0,46$.

Non-glissement. La poussée de l'eau sur un parement vertical est horizontale : la réaction normale du sol équilibre le seul poids, $N=W$. Le frottement doit équilibrer $F$, avec $F\le \mu N$ : $$\frac{1}{2}{\rho }_{\mathrm{e}}gL{H}^2\le \mu {\rho }_{\mathrm{b}}g\frac{bH}{2}L⟺\frac{b}{H}\ge \frac{{\rho }_{\mathrm{e}}}{\mu {\rho }_{\mathrm{b}}}=\frac{1000}{0,75\times 2400}\approx 0,56.$$ Le glissement domine : c'est lui qui dimensionne le barrage.

5) La sous-pression. La pression sous la base, au-delà de l'atmosphère, vaut $p(x)={\rho }_{\mathrm{e}}gH(1-x/b)$ à la distance $x$ de l'amont. On découpe la base en bandes de largeur $\mathrm{d}x$ : force verticale, vers le haut, $$U={\int }_0^b{\rho }_{\mathrm{e}}gH(1-\frac{x}{b})L\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\rho }_{\mathrm{e}}gHbL.$$ Son moment par rapport à l'amont, ${\int }_0^{b}xp(x)L\mathrm{d}x={\rho }_{\mathrm{e}}gHL{b}^2/6$, place son point d'application à $b/3$ de l'amont, donc à $2b/3$ de l'arête aval. La sous-pression soulève le barrage, et ce soulèvement s'ajoute au moment de renversement de l'eau : $${\rho }_{\mathrm{b}}g\frac{bH}{2}L\cdot \frac{2b}{3}\ge \frac{{\rho }_{\mathrm{e}}gL{H}^3}{6}+\frac{1}{2}{\rho }_{\mathrm{e}}gHbL\cdot \frac{2b}{3}⟺\frac{b}{H}\ge \sqrt{\frac{{\rho }_{\mathrm{e}}}{2({\rho }_{\mathrm{b}}-{\rho }_{\mathrm{e}})}}\approx 0,60.$$ Tout se passe comme si le béton perdait la masse volumique de l'eau. Pour le glissement, la réaction normale n'est plus que $W-U$ : $$\frac{b}{H}\ge \frac{{\rho }_{\mathrm{e}}}{\mu ({\rho }_{\mathrm{b}}-{\rho }_{\mathrm{e}})}=\frac{1000}{0,75\times 1400}\approx 0,95.$$ Pour $b=0,75H$, les moments par rapport à l'arête aval valent, par mètre de barrage : $4,4\times 10^9\mathrm{N}\mathrm{m}$ pour le poids, contre $1,6\times 10^9$ pour l'eau et $1,8\times 10^9$ pour la sous-pression. Le renversement est exclu avec une marge d'environ $30\%$ ; le glissement, lui, ne serait pas exclu avec une sous-pression complète. D'où les galeries de drainage : elles collectent l'eau infiltrée et abaissent la sous-pression ; si elles la ramenaient au tiers de sa valeur, la condition de glissement deviendrait $b/H\ge {\rho }_{\mathrm{e}}/(\mu ({\rho }_{\mathrm{b}}-{\rho }_{\mathrm{e}}/3))\approx 0,65$, et les profils réels la satisfont. S'y ajoutent l'ancrage du béton dans la roche et l'inclinaison de la fondation. La sous-pression est un ennemi sournois : elle ne se voit pas, et, complète, elle vaut ${\rho }_{\mathrm{e}}/{\rho }_{\mathrm{b}}\approx 42\%$ du poids du barrage.

Ce que l'exercice installe. Sommer des forces et des moments sur une paroi à pression non uniforme : bande élémentaire de même profondeur, $F=\frac{1}{2}\rho gL{H}^2$, point d'application au tiers de la hauteur, trouvé par le moment. Le paradoxe hydrostatique découle de l'équation locale. Et le dimensionnement d'un ouvrage compare des moments et des forces de frottement : c'est déjà la mécanique du solide.