Le manomètre à eau d'une conduite de gaz — exercice corrigé de thermodynamique et statique des fluides (PCSI) (chapitre 8)

Le manomètre à eau d'une conduite de gaz

Statique des fluides dans un référentiel galiléen · niveau 2

Énoncé

On branche une branche d'un tube en U contenant de l'eau ( $ρ_{e} = 1000 kg / m^{3}$ ) sur une conduite de gaz de ville ; l'autre branche est ouverte sur l'atmosphère ( $P_{0}$ ). La surface de l'eau côté atmosphère se trouve $h = 20 cm$ plus haut que celle côté gaz.

Exprimer la pression $P_{g}$ du gaz en fonction de $P_{0}$ , $ρ_{e}$ , $g$ , $h$ ; calculer la surpression $P_{g} - P_{0}$ , en pascals et en millibars.
La colonne de gaz qui relie la conduite au manomètre mesure aussi une vingtaine de centimètres ( $ρ_{g} \approx 0.8 kg / m^{3}$ ). Pourquoi peut-on considérer la pression comme uniforme dans le gaz ?
Quelle dénivellation lirait-on avec du mercure ( $13600 kg / m^{3}$ ) ? Pourquoi choisit-on l'eau pour mesurer la pression du gaz de ville, et le mercure pour la pression atmosphérique ?

Corrigé

1. Dans l'eau, continue et au repos, le point $A$ de la surface côté gaz et le point $A^{'}$ de la branche ouverte situé à la même altitude sont à la même pression. Or $P (A) = P_{g}$ (continuité de la pression à l'interface), et $A^{'}$ est à la profondeur $h$ sous la surface libre : $P (A^{'}) = P_{0} + ρ_{e} g h$ . D'où

$P_{g} - P_{0} = ρ_{e} g h = 1000 \times 9, 81 \times 0, 20 \approx 1.96 \times 1 0^{3} Pa \approx 20 m bar,$

l'ordre de grandeur réel de la surpression du gaz distribué dans les logements. Le manomètre mesure une différence de pression (pression relative) ; le sens de la dénivellation (eau plus haute côté air) indique $P_{g} > P_{0}$ .

2. Sur la colonne de gaz, la loi de l'hydrostatique donne une variation $ρ_{g} g Δ z \approx 0, 8 \times 9, 81 \times 0, 20 \approx 1.6 Pa$ , soit $ρ_{g} / ρ_{e} \approx 1 0^{- 3}$ fois la surpression mesurée : à l'échelle d'un appareil, la pression d'un gaz est uniforme (c'est pourquoi on parle de « la » pression d'un gaz dans un récipient).

3. Avec du mercure, $h = \frac{P _{g} - P _{0}}{ρ _{Hg} g} \approx 1.5 cm$ : la lecture serait $13, 6$ fois moins sensible. On choisit un liquide léger pour une petite surpression (la dénivellation reste lisible), un liquide dense pour une grande pression (la colonne de Torricelli fait $76 cm$ au mercure, plus de $10 m$ à l'eau).