Le vérin hydraulique et le théorème de Pascal — exercice corrigé de thermodynamique et statique des fluides (PCSI) (chapitre 8)

Le vérin hydraulique et le théorème de Pascal

Statique des fluides dans un référentiel galiléen · niveau 2

Énoncé

Un cric hydraulique relie un petit piston de section $S_{1} = 2.0 c m^{2}$ à un grand piston de section $S_{2} = 200 c m^{2}$ par une huile incompressible ( $ρ = 900 kg / m^{3}$ ), au repos. On appuie sur le petit piston avec une force $F_{1} = 100 N$ ; les pistons, de masse négligeable, coulissent sans frottement.

Les deux pistons étant d'abord à la même altitude, exprimer la force $F_{2}$ que l'huile exerce sur le grand piston. Calculer $F_{2}$ et la masse qu'il peut soulever.
Le grand piston est en fait $Δ z = 50 cm$ plus haut que le petit. Quelle correction la loi de l'hydrostatique apporte-t-elle ? Est-elle significative ?
Le grand piston monte de $h_{2} = 1.0 cm$ . De combien le petit descend-il ? Comparer les travaux des deux forces : le vérin crée-t-il de l'énergie ?

Corrigé

1. L'équilibre du petit piston impose à l'huile, juste sous lui, la surpression (au-delà de la pression atmosphérique, qui s'exerce aussi sur le grand piston et se compense)

$p = \frac{F _{1}}{S _{1}} = \frac{100}{2 , 0 \times 1 0 ^{- 4}} = 5.0 \times 1 0^{5} Pa .$ Deux points d'un même liquide au repos situés à la même altitude sont à la même pression : la surpression est la même sous le grand piston (théorème de Pascal : elle se transmet intégralement). D'où

$F_{2} = p S_{2} = F_{1} \frac{S _{2}}{S _{1}} = 100 \times \frac{200}{2 , 0} = 1.0 \times 1 0^{4} N,$

soit le poids d'une masse $F_{2} / g \approx 1.0 \times 1 0^{3} kg$ : une main soulève une voiture. La force est multipliée par le rapport des sections, pas la pression.

2. Entre les deux faces, $P (z_{2}) - P (z_{1}) = - ρ g Δ z$ : sous le grand piston, la pression est plus faible de $ρ g Δ z = 900 \times 9, 81 \times 0, 50 \approx 4.4 \times 1 0^{3} Pa$ . Rapportée aux $5.0 \times 1 0^{5} Pa$ transmis, la correction vaut $0, 9 %$ : $F_{2} \approx 9.9 \times 1 0^{3} N$ . Le poids du liquide est négligeable devant la surpression appliquée, ce qui justifie l'énoncé usuel du théorème de Pascal.

3. L'huile étant incompressible, le volume qui quitte le petit cylindre entre dans le grand : $S_{1} h_{1} = S_{2} h_{2}$ , donc $h_{1} = h_{2} S_{2} / S_{1} = 100 h_{2} = 1.0 m$ . Les travaux sont égaux : $F_{1} h_{1} = 100 \times 1, 0 = 100 J$ et $F_{2} h_{2} = 1 0^{4} \times 1 0^{- 2} = 100 J$ . Aucune énergie n'est créée : on échange de la force contre du déplacement, exactement comme avec un levier (d'où les cycles de pompage d'un cric réel, muni de clapets).