La tuyère d'un turboréacteur, et celle d'un moteur-fusée

La stratégie. Une tuyère n'a pas de pièce mobile et le gaz la traverse trop vite pour échanger de la chaleur : $w_u=0$, $q=0$, $\Delta e_p=0$. Le premier principe se réduit à $\Delta h+\Delta e_c=0$ : l'enthalpie perdue devient énergie cinétique. Le deuxième principe dit jusqu'où.

1) La formule de Saint-Venant. $h_1+\frac{1}{2}{c}_1^2=h_2+\frac{1}{2}{c}_2^2$, et pour le gaz parfait $h_1-h_2=c_p(T_1-T_2)$. Isentropique : $T_2=T_1(P_2/P_1{)}^{(\gamma -1)/\gamma }$ (Laplace). En combinant, $$c_2^2=c_1^2+2c_p(T_1-T_2)=c_1^2+2c_p{T}_1\left[1-{\left(\frac{P_2}{P_1}\right)}^{(\gamma -1)/\gamma }\right].$$ Avec $(\gamma -1)/\gamma =0,248$ : $T_2=880\times 0,625^{0,248}=783,1\mathrm{K}$, $h_1-h_2=1150\times 96,9=111,4\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, et $$c_2=\sqrt{200^2+2\times 111,4\times 10^3}=513\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ $\frac{1}{2}{c}_1^2=20\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ pèse $18\%$ de $\Delta h$ : ici, on ne le néglige pas (sans lui, $472\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $8\%$ d'erreur). Avec $r=c_p(\gamma -1)/\gamma =285,3\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, la vitesse du son en sortie vaut $\sqrt{1,33\times 285,3\times 783}=545\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : le jet sort à Mach $0,94$, une tuyère convergente suffit. Le bilan d'énergie, lui, ne dépend pas de la forme de la tuyère.

2) La tuyère réelle. $c_2^2=c_1^2+0,95(c_{2,\mathrm{is}}^2-c_1^2)$ donne $c_2=502\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; l'enthalpie convertie vaut $0,95\times 111,4=105,8\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, d'où $T_2=880-105,8\times 10^3/1150=788,0\mathrm{K}$. Adiabatique : $s_e=0$ et $$s_c=\Delta s=c_p\ln \frac{T_2}{T_1}-r\ln \frac{P_2}{P_1}=1150\ln \frac{788,0}{880}-285,3\ln 0,625=7,1\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}>0.$$ À la même pression de sortie, $s$ croît avec $T$ ; l'état isentropique est donc le plus froid possible, et toute création d'entropie ($s_c>0$, frottements dans la couche limite) laisse le gaz plus chaud, avec moins d'enthalpie convertie : ${\eta }_t<1$. Ici, la vitesse d'éjection perd $2\%$ et l'énergie cinétique du jet $4\%$.

3) Détente jusqu'au vide. $P_2\to 0$ : $c_{\max }=\sqrt{c_1^2+2c_p{T}_1}=1437\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, toute l'enthalpie du gaz (au sens de $c_p{T}_1$) devenue énergie cinétique, gaz à $0\mathrm{K}$ : limite inaccessible (le gaz se condenserait bien avant), mais qui borne la vitesse. La courbe monte vite aux faibles détentes puis sature :

4) Le moteur-fusée. $r=R/M=8,314/0,0141=590\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, $c_p=\gamma r/(\gamma -1)=3540\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ (trois fois celui de l'air). Avec $c_1\approx 0$ et $(P_2/P_1{)}^{(\gamma -1)/\gamma }=(0,2/115{)}^{0,1667}=0,347$ : $$c_2=\sqrt{2\times 3540\times 3500\times (1-0,347)}=4,0\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1},c_{\max }=\sqrt{2c_p{T}_1}=5,0\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Les gaz sortent à $1210\mathrm{K}$ : il reste $35\%$ de $c_p{T}_1$ non converti, d'où les grands divergents des moteurs d'étage supérieur. Comme $c_p=\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{R}{M}$, $c\propto \sqrt{T/M}$ : à température donnée, les produits les plus légers vont le plus vite. Des produits de masse molaire $29\mathrm{g}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ (kérosène-air) sortiraient à $2,8\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$ dans les mêmes conditions. On brûle l'hydrogène en excès (rapport de masse oxygène/hydrogène voisin de 6, pour 8 à la stœchiométrie) : on perd un peu de température, mais on abaisse $M$ de $18$ à $14\mathrm{g}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ et l'on gagne en vitesse.

Ce que l'exercice installe. La tuyère convertit l'enthalpie en énergie cinétique, $\Delta h+\Delta e_c=0$, et c'est le seul organe où $\Delta e_c$ est le terme principal. La détente isentropique d'un gaz parfait donne la formule de Saint-Venant ; l'entropie créée ($s_c>0$ pour un écoulement adiabatique) chiffre l'écart à l'idéal, et un rendement défini dans l'énoncé le résume. La vitesse d'éjection croît comme $\sqrt{T/M}$.