Le compresseur à piston de l'atelier : le travail indiqué est un $\Delta h$

La stratégie. Une machine à piston n'est pas en régime stationnaire à l'échelle d'un tour, mais elle l'est en moyenne sur un grand nombre de tours. On suit la masse $m$ admise à chaque tour comme un système fermé (acquis de première année), et l'on identifie le travail du piston à $w_u$.

1) Le cycle et son travail. Le volume d'air suit $V$ : admission à $P_1$ de $V=0$ à $V_b$ (clapet d'admission ouvert), compression de $V_b$ à $V_2$ (clapets fermés), refoulement à $P_2$ de $V_2$ à $0$ (clapet de refoulement ouvert). Le travail reçu de la face du piston est $-P\mathrm{d}V$ à chaque instant : $$W=-P_1{V}_b-{\int }_{V_b}^{V_2}P\mathrm{d}V+P_2{V}_2.$$ Comme $\mathrm{d}(PV)=P\mathrm{d}V+V\mathrm{d}P$, l'intégration par parties donne ${\int }_{P_1}^{P_2}V\mathrm{d}P=P_2{V}_2-P_1{V}_b-{\int }_{V_b}^{V_2}P\mathrm{d}V=W$ : c'est l'aire comprise entre la courbe de compression et l'axe des pressions (figure).

2) Le travail indiqué est un $\Delta h$. Pour la masse $m$, compression adiabatique : $-{\int }_{V_b}^{V_2}P\mathrm{d}V=m(u_2-u_1)$ (premier principe d'un système fermé). Avec $P_1{V}_b=m{P}_1{v}_1$ et $P_2{V}_2=m{P}_2{v}_2$ : $$W=m(u_2-u_1)+m(P_2{v}_2-P_1{v}_1)=m(h_2-h_1).$$ Le terme $P_2{v}_2-P_1{v}_1$ est exactement le travail de transvasement du cours : $W/m$ est le travail utile $w_u$, et l'on retrouve $\Delta h=w_u$ pour une machine adiabatique. Le résultat ne suppose pas la réversibilité (seulement l'adiabaticité) ; on parle de « travail indiqué », lu sur le diagramme de Watt relevé par un indicateur de pression.

3) Un seul étage. Loi de Laplace : $T_2=T_1(P_2/P_1{)}^{(\gamma -1)/\gamma }=293,15\times 8^{0,2857}=531,0\mathrm{K}$, soit $258{}^{\circ }\mathrm{C}$. Puis $$w_u=c_p(T_2-T_1)=1005\times 237,9=239\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}.$$ Masse admise : $m=\frac{P_1{V}_b}{r{T}_1}=\frac{10^5\times 0,35\times 10^{-3}}{287\times 293,15}=0,416\mathrm{g}$, d'où $D_m=m\times 1450/60=10,05\mathrm{g}{\mathrm{s}}^{-1}$ ($507\mathrm{L}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$ aspirés) et une puissance $D_m{w}_u=2,40\mathrm{kW}$. Vérification par le diagramme de Watt : $-P_1{V}_b=-35,0\mathrm{J}$, compression $m{c}_v(T_2-T_1)=71,0\mathrm{J}$, refoulement $P_2{V}_2=63,4\mathrm{J}$ ($V_2=0,0793\mathrm{L}$) : $W=99,4\mathrm{J}$ par tour, et $m{w}_u=99,4\mathrm{J}$. À $258{}^{\circ }\mathrm{C}$, l'huile se dégraderait (calamine sur les clapets, risque d'inflammation) : un étage ne suffit pas pour $8\mathrm{bar}$.

4) La compression isotherme. Pour un gaz parfait à $T_1$, $V=mr{T}_1/P$ et $$w_u=\frac{1}{m}{\int }_{P_1}^{P_2}V\mathrm{d}P=r{T}_1\ln \frac{P_2}{P_1}=287\times 293,15\times \ln 8=175\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1},$$ soit $1,76\mathrm{kW}$. Sur le diagramme de Watt, l'isotherme ($PV=$ cste) passe à gauche de l'adiabatique ($P{V}^{\gamma }=$ cste) dès que $P>P_1$ : à chaque pression le volume est plus petit, donc l'aire $\int V\mathrm{d}P$ aussi. Refroidir pendant la compression réduit le travail.

5) Deux étages. Chaque étage est adiabatique réversible, l'échangeur ramène l'air à $T_1$ : $$w_u(P_i)=c_p{T}_1\left[{\left(\frac{P_i}{P_1}\right)}^k+{\left(\frac{P_2}{P_i}\right)}^k-2\right],k=\frac{\gamma -1}{\gamma }.$$ La dérivée par rapport à $P_i$ s'annule pour $\frac{k}{P_i}{\left(\frac{P_i}{P_1}\right)}^k=\frac{k}{P_i}{\left(\frac{P_2}{P_i}\right)}^k$, soit $P_i^2=P_1{P}_2$ : $P_i=\sqrt{P_1{P}_2}=2,83\mathrm{bar}$, les deux étages ont le même rapport de pression et le même travail (c'est un minimum : $w_u$ tend vers l'infini aux deux bornes). Chaque étage finit à $T_1(2,83{)}^{0,2857}=394,6\mathrm{K}$ ($121{}^{\circ }\mathrm{C}$, acceptable pour l'huile) et $$w_u=2c_p(394,6-293,15)=204\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1},$$ soit $2,05\mathrm{kW}$ : $15\%$ de moins qu'en un étage. L'échangeur intermédiaire ($w_u=0$) reçoit $q=\Delta h=-c_p(394,6-293,15)=-102\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, cédés à l'air ambiant ($1,0\mathrm{kW}$). Avec trois étages, $194\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ ; avec $n$ étages, $w_u$ décroît vers la limite isotherme $175\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ (l'escalier de la figure épouse l'isotherme). D'où les compresseurs d'atelier bi-étagés à refroidissement intermédiaire au-delà de $7$ à $8\mathrm{bar}$.

Ce que l'exercice installe. Sur une machine à piston, le travail utile est l'aire $\int V\mathrm{d}P$ du diagramme de Watt, et le travail de transvasement $P_2{v}_2-P_1{v}_1$ transforme $\Delta u$ en $\Delta h$ : $w_u=\Delta h$ vaut pour toute machine adiabatique, à aubes ou à piston. La compression isotherme est la moins coûteuse ; on s'en approche par étages et refroidissements intermédiaires, à pression intermédiaire $\sqrt{P_1{P}_2}$ ; l'échangeur est un système ouvert où $q=\Delta h$.