Vider une bouteille d'air comprimé : le gaz qui reste se refroidit

1. Le gaz restant (quantité fixée $n$) occupe, à chaque instant, une partie $V$ du volume de la bouteille ; en se détendant, il repousse vers le robinet le gaz qui sort. Sa transformation élémentaire est adiabatique ($\delta Q=0$) et quasi statique pour lui : il reçoit $\delta W=-P\mathrm{d}V$. Le premier principe s'écrit $\mathrm{d}U=\delta W+\delta Q$, soit $n{C}_{V,m}\mathrm{d}T=-P\mathrm{d}V$, où $\mathrm{d}U$ est la différentielle d'une fonction d'état et $\delta W$, $\delta Q$ des quantités échangées qui dépendent du chemin. Avec $PV=nRT$, $P\mathrm{d}V=nR\mathrm{d}T-V\mathrm{d}P$, d'où $(C_{V,m}+R)\mathrm{d}T=\frac{RT}{P}\mathrm{d}P$, et comme $C_{P,m}=\gamma R/(\gamma -1)$ :

$$\frac{\mathrm{d}T}{T}=\frac{\gamma -1}{\gamma }\frac{\mathrm{d}P}{P}⟹T{P}^{(1-\gamma )/\gamma }=\text{cste}.$$

C'est la loi de Laplace : le gaz restant subit une détente isentropique.

2. $T_1=T_0(P_1/P_0{)}^{(\gamma -1)/\gamma }=293\times 0,25^{0,2857}=197\mathrm{K}$, soit $-76{}^{\circ }\mathrm{C}$. L'air restant, et avec lui le robinet, se refroidissent fortement : l'humidité de l'air ambiant givre sur la robinetterie (à $200\mathrm{bar}$, $Z\approx 1,03$ : le modèle du gaz parfait reste correct à quelques pour cent près).

3. Bouteille fermée : volume constant, $P/T$ constant, d'où $P_2=P_1{T}_0/T_1=50\times 293/197=74\mathrm{bar}$. Le manomètre remonte de $50$ à $74\mathrm{bar}$ sans qu'on ajoute d'air : une vidange rapide « laisse » plus de gaz qu'il n'y paraît.