Ce que disent homogénéité et isotropie

Exercice de TD · niveau 2 · thermodynamique (MPSI), chapitre 2 — Gaz parfait, énergie interne et phases condensées · A. Le modèle du gaz parfait et la vitesse quadratique moyenne

Énoncé

On considère un gaz au repos dans un récipient, à l'équilibre. Sa distribution des vitesses est homogène (la même en tout point) et isotrope (aucune direction privilégiée).

1) Traduire l'isotropie par une propriété de symétrie de la distribution des vecteurs vitesse. En déduire $⟨ v ⟩ = 0$ , puis $⟨ v_{x}^{2} ⟩ = ⟨ v_{y}^{2} ⟩ = ⟨ v_{z}^{2} ⟩ = \frac{u ^{2}}{3}$ , où $u = ⟨ v^{2} ⟩$ . A-t-on $⟨ v_{x} ⟩ = 0$ ? $⟨ ∣ v_{x} ∣ ⟩ = 0$ ?

2) Un échantillon de dix molécules a les normes de vitesse suivantes (en $m s^{- 1}$ ) : 200, 300, 400, 400, 500, 500, 500, 600, 700, 900. Calculer la vitesse moyenne $⟨ v ⟩$ et la vitesse quadratique moyenne $u$ . Montrer que, pour toute distribution, $u^{2} - ⟨ v ⟩^{2} = ⟨(v - ⟨ v ⟩)^{2} ⟩$ , et en déduire $u \geq ⟨ v ⟩$ . Dans quel cas a-t-on l'égalité ?

3) Pour la distribution des vitesses de Maxwell (hors programme, donnée ici), la vitesse moyenne vaut $⟨ v ⟩ = \frac{8 k _{B} T}{π m}$ , et l'on admet $u = \frac{3 k _{B} T}{m}$ . Calculer le rapport $u / ⟨ v ⟩$ , puis les deux vitesses pour le diazote à $300 K$ ( $M = 28 g mo l^{- 1}$ ).

4) Le même gaz est enfermé dans un wagon qui roule à $V = 300 km h^{- 1}$ en ligne droite. Dans le référentiel du sol, que vaut $⟨ v ⟩$ ? Montrer que la vitesse quadratique moyenne mesurée dans le référentiel du sol vérifie $u_{sol}^{2} = u^{2} + V^{2}$ . Quelle « température » obtiendrait-on en écrivant $\frac{1}{2} m u_{sol}^{2} = \frac{3}{2} k_{B} T$ dans le référentiel du sol ? Conclure : dans quel référentiel la température cinétique se définit-elle ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition des moyennes (moyenne sur les molécules du gaz, à un instant donné), la linéarité de la moyenne ( $⟨ a + b ⟩ = ⟨ a ⟩ + ⟨ b ⟩$ , $⟨ λa ⟩ = λ ⟨ a ⟩$ pour une constante $λ$ ), et la définition $u^{2} = ⟨ v^{2} ⟩$ . La stratégie est d'utiliser les symétries de la distribution avant tout calcul : elles imposent des égalités sans qu'on connaisse la distribution.

1) Ce que donne l'isotropie. Dire qu'aucune direction n'est privilégiée, c'est dire que la distribution des vecteurs vitesse est invariante par toute rotation (et par symétrie par rapport à un plan) : la proportion de molécules dont la vitesse pointe dans un petit cône autour d'une direction est la même pour toutes les directions.

La vitesse moyenne est nulle. Le retournement $v \mapsto - v$ est une telle symétrie : il y a autant de molécules de vitesse $v$ que de molécules de vitesse $- v$ . Donc $⟨ v ⟩ = ⟨ - v ⟩ = - ⟨ v ⟩$ , d'où $⟨ v ⟩ = 0$ . Sinon, le gaz s'écoulerait en bloc.

Les trois composantes quadratiques sont égales. Une rotation d'un quart de tour autour de l'axe $z$ échange les rôles de $x$ et de $y$ ; la distribution étant invariante, $⟨ v_{x}^{2} ⟩ = ⟨ v_{y}^{2} ⟩$ , et de même avec $z$ . Or, par le théorème de Pythagore, $v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}$ pour chaque molécule, donc par linéarité $u^{2} = ⟨ v^{2} ⟩ = ⟨ v_{x}^{2} ⟩ + ⟨ v_{y}^{2} ⟩ + ⟨ v_{z}^{2} ⟩ = 3 ⟨ v_{x}^{2} ⟩, soit ⟨ v_{x}^{2} ⟩ = \frac{u ^{2}}{3} .$

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